变分法的求解

从上一篇的一张图说起：

先回顾一下这一张图：

  1. 我们有一个目标函数
  2. 求解这个目标函数可以采用Euler-Lagrange方程
  3. 为了求解这个方程，我们可以定义一个Lagrange函数
  4. 将Lagrange函数代入Euler-Lagrange方程，可以得到一个微分方程的解
  5. 将约束条件代入这个微分方程，可以得到最终需要的轨迹

在这里，有几个问题需要解释一下：

  1. Lagrange函数唯一吗？不唯一，后续在“时间最优”还是“能量最优”会介绍
  2. 微分方程怎么解？这是接下来要具体分析的

2. 微分方程的求解

看上图，我们可以知道在《数值分析》这门课中呢，可以采用“正交空间”与“正交多项式”来求解微分方程，具体大家可以在知乎查看相关内容，这里不再展开。

我们会发现，其实有两类正交多项式值得关注：

  1. 多项式函数

  2. 三角函数

我们可以采用这两类基底来进行轨迹拟合（拟合：先确定一组基底，将函数形式化一组基底的线性表达，根据数据（约束条件）来确定基底的系数）

3. 约束条件的确定

上图给出了微分方程解的形式，以及需要的约束个数。为了具体了解约束条件的应用，我们给出了两个具体的例子：

可以发现，矩阵求解速度较慢，我们可以通过一些简化来加快计算过程，比方说：Time Shift和Rest-to-rest

  1. Time Shift

  3. 简单来说，就是把初始条件定义为零，从而将矩阵降维（比方说三次多项式，降了两行）

    2. Rest-to-rest

  5. rest-to-rest约束条件是指：将非位置约束定义为零约束；从而达到降低计算难度的目标

    4. 时间尺度

    轨迹规划与路径优化到底是什么关系？下图给出了一个清晰的定义：

    轨迹=路径+时间尺度

  7. 换言之，轨迹规划（优化）可以解耦成路径规划和时间尺度，在已知路径规划的基础上，我们仅仅需要考虑时间尺度的求解即可。

    小结

    这一篇题目为“从变分法求解到轨迹拟合”，变分法如何求解目标函数，进而转换为一个微分方程的求解，然后将轨迹优化问题转换为“轨迹拟合”，然后分别从约束条件及其简化介绍了轨迹拟合。

    最后简单介绍了“时间尺度”的概念。

    既然轨迹优化使用了“拟合”，自然而然可以想到使用“插值”，那么“轨迹插值”又是怎么来的呢？

    参考文献

    1. Jazar R N . Theory of Applied Robotics[J]. 2010.
    2. Choset. Principles of Robot Motion: Theory, Algorithms, and Implementations[J]. 2005.