本文主要基于以下参考：

[1] John T. Betts. Survey of Numerical Methods for Trajectory Optimization.

[2] Anil V. Rao. A Survey of Numerical Methods For Optimal Control.

[3] John T. Betts. Practical Methods for Optimal Control and Estimation Using Nonlinear Programming 2nd.

[4] A E. Bryson. Applied Optimal Control.

[5] KIRK. Optimal Control Theory: An Introduction.

[6] Matthew Kelly. An Introduction to Trajectory Optimization: How to Do Your Own Direct Collocation.

更新

• 更新了积分公式，不再使用ode45，而使用固定步长的rk4，代码来自于MatthewPeterKelly
• 因此求解速度得到了大幅度的提高，也可以使用更多的离散点数目了

本节主要介绍对直接打靶法程序的后续改进，然后采用该程序对前面已经介绍的最优控制问题继续进行求解，并给出相应的求解结果，使读者对直接打靶法的求解效果有比较直观的感受。

第一部分

直接打靶法程序的改进

1. 控制量现在可以多于1个了；

2. 现在包括了路径约束；

3. 现在插值方式可以选择interp1插值的任意一种；

4. 现在包括了所有已经实现的例子代码。

路径约束的实现

路径约束

本质上应该在整个时间区间内都满足，但是直接法由于是在离散点上对控制进行近似，因此很难实现在整个区间上满足路径约束，可以通过增加离散点的数目来对路径约束实现更好的满足。

因此，本实现仅要求离散点处的路径约束必须满足。

总结

1. 直接打靶法的求解速度仍然较慢，且依赖于选择的插值方式；

2. 直接打靶法在优化过程中需要通过差分求导数，而所使用函数ode45是基于自适应误差控制的积分器，因此会导致导数计算产生噪声，这部分内容在[3] 3.8节进行了解释；

3. 进一步在[3] 3.9.3节对各种微分方式进行了介绍；

4. 直接打靶法在没有路径约束，系统状态量较多，控制量较少，且控制量形式可提前知道的情况下求解速度还是比较快的。

第二部分

例子1

最优控制问题：

边界条件：

其中  为重力参数，  为推力模值，  为初始的质量，  为燃料消耗速率，这些参数给定如下：

以下求解过程中，网格点数目均选择为10个。

1.1 控制量插值方式选择为linear

1.2 控制量插值方式选择为spline

例子2 (含有路径约束的问题)

最优控制问题(Bryson’s maximum range problem)：

满足路径约束：

边界约束：

其中  。

2.1 控制量插值方式选择为linear

2.2 控制量插值方式选择为spline

2.3 控制量插值方式选择为makima

例子3

重新对问题进行表达，一般性的问题：

满足约束：

下面在给定具体数值的基础上对其进行计算，考虑某种特殊情况：

其中，  为船本身速度，  ，进一步给出  ，  。

3.1 控制量插值方式选择为linear

3.2 控制量插值方式选择为spline

例子4

重新对上述问题进行整理叙述：

满足约束：

其中，

4.1 控制量插值方式选择为linear

4.2 控制量插值方式选择为spline