2 扩展卡尔曼滤波EKF
在上一节中，我们了解到了卡尔曼滤波的计算公式。卡尔曼滤波基于线性系统的假设，如果运动模型或者观测模型不能用线性系统来表示（大部分现实问题都无法遵从线性系统的假设），那么我们仍然可以使用卡尔曼滤波的思想，只不过我们使用一阶雅克比矩阵来代替状态转移矩阵来进行计算（证明略），这就是扩展卡尔曼滤波EKF：
Localization process using Extendted Kalman Filter:EKF is
=== Predict ==
下面通过一个python实例来展示EKF的核心概念。（完整代码见原链接，有中文注释的附在了最后）
图中是一个应用Extended Kalman Filter(EKF)做传感器融合定位的实例。
蓝色线是轨迹真值，黑色线是“航迹推测”得出的轨迹（航迹推测指的是单纯凭借速度信息推测位置的方法，会将速度信息的误差包含在位置中）
绿色点是观测值(ex. GPS), 红色线是经过EKF滤波后的轨迹。
红色椭圆代表EKF输出的机器人状态的实时协方差。
源代码链接: PythonRobotics/extended_kalman_filter.py at master · AtsushiSakai/PythonRobotics
滤波器设计
在这个实例中，二维机器人具有一个四个元素的状态向量：
别忘了，为了模拟实际情况，控制输入向量和观测值向量都应该带有噪声。
在源代码中, “observation” 函数通过在理论值上人为加随机噪声来模拟实际信号code
def observation(xTrue, xd, u):"""执行仿真过程，不是EKF的一部分"""# 轨迹真值xTrue = motion_model(xTrue, u)
# add noise to gps x-yz = observation_model(xTrue) + GPS_NOISE @ np.random.randn(2, 1)
# add noise to inputud = u + INPUT_NOISE @ np.random.randn(2, 1)
# 航迹推测得出的轨迹：xd = motion_model(xd, ud)
return xTrue, z, xd, ud
运动模型
机器人的运动模型为：
dt 是时间步长。
注意实际上矩阵B 包含了状态向量（机器人角度），这不再是一个单纯的线性模型。
这部分的源代码： code
运动模型的雅克比矩阵（也就是按照状态向量中的各个元素依次彼此求一阶偏导）为：
def motion_model(x, u):"""运动模型"""F = np.array([[1.0, 0, 0, 0],[0, 1.0, 0, 0],[0, 0, 1.0, 0],[0, 0, 0, 0]])# 注意：在这里B矩阵中耦合了状态向量x，因此并不是简单的线性模型：B = np.array([[DT * math.cos(x[2, 0]), 0],[DT * math.sin(x[2, 0]), 0],[0.0, DT],[1.0, 0.0]])
x = F @ x + B @ u
return x
def jacob_f(x, u):"""Jacobian of Motion Model
motion modelx_{t+1} = x_t+v*dt*cos(yaw)y_{t+1} = y_t+v*dt*sin(yaw)yaw_{t+1} = yaw_t+omega*dtv_{t+1} = v{t}sodx/dyaw = -v*dt*sin(yaw)dx/dv = dt*cos(yaw)dy/dyaw = v*dt*cos(yaw)dy/dv = dt*sin(yaw)"""yaw = x[2, 0]v = u[0, 0]jF = np.array([[1.0, 0.0, -DT * v * math.sin(yaw), DT * math.cos(yaw)],[0.0, 1.0, DT * v * math.cos(yaw), DT * math.sin(yaw)],[0.0, 0.0, 1.0, 0.0],[0.0, 0.0, 0.0, 1.0]])
return jF
观测模型
在这个实例中，机器人可以通过GPS直接获取二维 x-y 坐标。
所以GPS的观测模型是：
def observation_model(x):H = np.array([[1, 0, 0, 0],[0, 1, 0, 0]])
z = H @ x
return z
def jacob_h():# Jacobian of Observation ModeljH = np.array([[1, 0, 0, 0],[0, 1, 0, 0]])
return jH
以下是完整程序中文注释版：
"""
Extended kalman filter (EKF) localization sample
author: Atsushi Sakai (@Atsushi_twi)
https://github.com/AtsushiSakai/PythonRobotics/blob/master/Localization/extended_kalman_filter/"""
import math
import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np
# Covariance for EKF:# 运动模型协方差：Q = np.diag([0.1, # variance of location on x-axis0.1, # variance of location on y-axisnp.deg2rad(10), # variance of yaw angle10.0 # variance of velocity]) ** 2 # predict state covariance# 观测模型协方差：R = np.diag([1.0, 1.0]) ** 2 # Observation x,y position covariance
# Simulation parameterINPUT_NOISE = np.diag([1.0, np.deg2rad(30.0)]) ** 2GPS_NOISE = np.diag([0.5, 0.5]) ** 2
DT = 0.1 # time tick [s]SIM_TIME = 50.0 # simulation time [s]
show_animation = True
def calc_input():v = 1.0 # [m/s]yawrate = 0.1 # [rad/s]u = np.array([[v], [yawrate]])return u
def observation(xTrue, xd, u):"""执行仿真过程，不是EKF的一部分"""# 轨迹真值xTrue = motion_model(xTrue, u)
# add noise to gps x-yz = observation_model(xTrue) + GPS_NOISE @ np.random.randn(2, 1)
# add noise to inputud = u + INPUT_NOISE @ np.random.randn(2, 1)
# 航迹推测得出的轨迹：xd = motion_model(xd, ud)
return xTrue, z, xd, ud
def motion_model(x, u):"""运动模型"""F = np.array([[1.0, 0, 0, 0],[0, 1.0, 0, 0],[0, 0, 1.0, 0],[0, 0, 0, 0]])# 注意：在这里B矩阵中耦合了状态向量x，因此并不是简单的线性模型：B = np.array([[DT * math.cos(x[2, 0]), 0],[DT * math.sin(x[2, 0]), 0],[0.0, DT],[1.0, 0.0]])
x = F @ x + B @ u
return x
def observation_model(x):H = np.array([[1, 0, 0, 0],[0, 1, 0, 0]])
z = H @ x
return z
def jacob_f(x, u):"""Jacobian of Motion Model
motion modelx_{t+1} = x_t+v*dt*cos(yaw)y_{t+1} = y_t+v*dt*sin(yaw)yaw_{t+1} = yaw_t+omega*dtv_{t+1} = v{t}sodx/dyaw = -v*dt*sin(yaw)dx/dv = dt*cos(yaw)dy/dyaw = v*dt*cos(yaw)dy/dv = dt*sin(yaw)"""yaw = x[2, 0]v = u[0, 0]jF = np.array([[1.0, 0.0, -DT * v * math.sin(yaw), DT * math.cos(yaw)],[0.0, 1.0, DT * v * math.cos(yaw), DT * math.sin(yaw)],[0.0, 0.0, 1.0, 0.0],[0.0, 0.0, 0.0, 1.0]])
return jF
def jacob_h():# Jacobian of Observation ModeljH = np.array([[1, 0, 0, 0],[0, 1, 0, 0]])
return jH
def ekf_estimation(xEst, PEst, z, u):# PredictxPred = motion_model(xEst, u)jF = jacob_f(xEst, u)PPred = jF @ PEst @ jF.T + Q
# UpdatejH = jacob_h()zPred = observation_model(xPred)y = z - zPredS = jH @ PPred @ jH.T + RK = PPred @ jH.T @ np.linalg.inv(S)xEst = xPred + K @ yPEst = (np.eye(len(xEst)) - K @ jH) @ PPredreturn xEst, PEst
def plot_covariance_ellipse(xEst, PEst): # pragma: no coverPxy = PEst[0:2, 0:2]eigval, eigvec = np.linalg.eig(Pxy)
if eigval[0] >= eigval[1]:bigind = 0smallind = 1else:bigind = 1smallind = 0
t = np.arange(0, 2 * math.pi + 0.1, 0.1)a = math.sqrt(eigval[bigind])b = math.sqrt(eigval[smallind])x = [a * math.cos(it) for it in t]y = [b * math.sin(it) for it in t]angle = math.atan2(eigvec[bigind, 1], eigvec[bigind, 0])rot = np.array([[math.cos(angle), math.sin(angle)],[-math.sin(angle), math.cos(angle)]])fx = rot @ (np.array([x, y]))px = np.array(fx[0, :] + xEst[0, 0]).flatten()py = np.array(fx[1, :] + xEst[1, 0]).flatten()plt.plot(px, py, "--r")
def main():print(__file__ + " start!!")
time = 0.0
# State Vector [x y yaw v]'xEst = np.zeros((4, 1)) # 初始值全部为0xTrue = np.zeros((4, 1))PEst = np.eye(4) #用一个对角都是1的矩阵表示状态协方差矩阵初始值
xDR = np.zeros((4, 1)) # Dead reckoning
# historyhxEst = xEsthxTrue = xTruehxDR = xTruehz = np.zeros((2, 1))
while SIM_TIME >= time:time += DTu = calc_input()
xTrue, z, xDR, ud = observation(xTrue, xDR, u)
xEst, PEst = ekf_estimation(xEst, PEst, z, ud)
# store data historyhxEst = np.hstack((hxEst, xEst))hxDR = np.hstack((hxDR, xDR))hxTrue = np.hstack((hxTrue, xTrue))hz = np.hstack((hz, z))
if show_animation:plt.cla()# for stopping simulation with the esc key.plt.gcf().canvas.mpl_connect('key_release_event',lambda event: [exit(0) if event.key == 'escape' else None])plt.plot(hz[0, :], hz[1, :], ".g")plt.plot(hxTrue[0, :].flatten(),hxTrue[1, :].flatten(), "-b")plt.plot(hxDR[0, :].flatten(),hxDR[1, :].flatten(), "-k")plt.plot(hxEst[0, :].flatten(),hxEst[1, :].flatten(), "-r")plot_covariance_ellipse(xEst, PEst)plt.axis("equal")plt.grid(True)plt.pause(0.001)
if __name__ == '__main__':main()
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