0 ADRC的核心思想

　　通过扩张状态观测器ESO估计出原系统各个状态量和内外总扰动，然后利用线性状态反馈，即误差和误差的各阶导数的线性组合，也即是PD控制器，使系统镇定在平衡点。

1 参考链接

Chenglin Li：自抗扰控制理论（一）ADRC的原理

Chenglin Li：自抗扰控制理论（七）自抗扰设计流程

控制器封装库（一）封装库的安装和LADRC模块的使用8757 播放 · 26 赞同视频​

2 N阶含慢时变扰动的非线性系统

$$\begin{array}{}\text{(1)}& y^{(n)}=f(t,y(t),\dot{y}(t),...,y^{(n-1)}(t))+bu.\end{array}$$

3 自抗扰控制器示意图

• 在不考虑滤波作用时，忽略跟踪微分器；

4 LESO状态重构

（1）选取状态变量

$$\begin{array}{}\text{(2)}& x_1=y,x_2=\dot{y},...,x_n=y^{(n-1)}.\end{array}$$

（2）扩展状态变量

$$\begin{array}{}\text{(3)}& x_{n+1}=f(t,y(t),\dot{y}(t),...,y^{(n-1)}(t)).\end{array}$$

（3）状态空间形式

$\begin{array}{}\text{(4)}& \{\begin{array}{rl}\dot{x}& =Ax+Bu+Ew.\\ y& =Cx\end{array},A\in R^{(n+1)\times (n+1)}\end{array}$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& ...& 0& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ ...\\ b_0\\ 0\end{array}\right),E=\left(\begin{array}{c}0\\ ...\\ 0\\ 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0...& 0\end{array}\right).\end{array}$$

（4）LESO方程

$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(6)}& \{\begin{array}{rl}\dot{\hat{x}}& =A\hat{x}+Bu+G(y-\hat{y}).\\ \hat{y}& =C\hat{x}\end{array} \\ G=\left(\begin{array}{cccc}{\beta }_1& {\beta }_2...& {\beta }_{n-1}& {\beta }_n\end{array}\right).\end{array} \end{gathered}$$

令 $\tilde{x}=x-\hat{x}$ ,可以推导出LESO的误差方程，证明LESO是有界输入-有界输出的，并且误差上界可以由参数 ${\beta }_i$ 调节。

• 使用matlab描述LESO微分方程

function sys=mdlDerivatives(t,x,u,N,Wc,Wo,b0)
    global beta_Wo
    
    y=u(1); %输出反馈
    ucon=u(2) ;
    e=y-x(1);
    dx=zeros(N+1, 1) ;
    for i=1: N-1
        dx(i)=beta_Wo(i)*e+x(i+1) ; %LESO微分方描述   
        
    end
    
    dx(N)=beta_Wo(N)*e +x(N+1)+b0*ucon ;
    dx(N+1)=beta_Wo(N+1)*e ;
    
    
sys = dx ;

（5）选择适当的G，可以使观测器近似跟踪系统状态变量

Chenglin Li：自抗扰控制理论（八）扩张状态观测器跟踪误差分析45 赞同 · 11 评论文章

$$\begin{array}{}\text{(7)}& x_i\approx {\hat{x}}_i.\end{array}$$

（6）LESO增益系数

特征方程：

$$\begin{array}{}\text{(8)}& L_{LESO}(s)=s^{n+1}+{\beta }_1{s}^n+{\beta }_2{s}^{n-1}+...+{\beta }_{n-1}.\end{array}$$

将LESO极点统一配置到左半实轴同一位置，可将调节参数缩减为一个（LESO带宽 ${\omega }_o$ ）。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& L_{LESO}(s)=(s+{\omega }_o{)}^{n+1}.\end{array}$$

得到特征多项式系数：

$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\beta }_i=C_{n+1}^i{\omega }_o^i.(i=1,2,\mathrm{3...},n+1).\end{array}$$

（7）C++程序计算LESO系数

//组合数计算公式
double LADRC::comb(int n, int m)
{
	if (n < 0 || n < 0)
		return 0;
	else
		return jiecheng(n) / jiecheng(m) / jiecheng(n - m);

}
//计算阶乘子函数
double LADRC::jiecheng(int n)
{
	if (n < 0)
		return 0;
	else if (n == 0 || n == 1)
		return 1.0;
	else
		return n*jiecheng(n - 1);
}
double LADRC::powj(double Wo, int n)
{
	int i;
	double z=1;
	if (n == 0)
		return 1;
	else
	{
		for (i = n; i >= 1; i--)
		{
			z = z*Wo;
		}
	}
	return z;

}
//生成控制器系数
//生成LESO系数
for (i = 0; i < ODE_NUM + 1; i++)
{
		beta_Wo[i] = powj(this->Wc, i + 1)*comb(ODE_NUM + 1, i + 1);
}

5 线性控制律设计

（1）估计补偿扰动控制律$$\begin{array}{}\text{(11)}& u=-\frac{1}{b_0}\cdot (a_1({\hat{x}}_1-ref)+a_2{\hat{x}}_2+...+a_{n-1}{\hat{x}}_{n-1}+a_n{\hat{x}}_n+{\hat{x}}_{n+1}).\end{array}$$

• 描述控制器

function sys=mdlOutputs(t,x,u,N,Wc,Wo,b0)
global beta_Wc

    ref=u(1);
    e=u(2)- ref;
    u0=e*beta_Wc(1)+u(N+2);
    for i=2 : N
        u0=u0+beta_Wc( i )*u(i+1) ;
        
    end
    

sys = -u0/b0 ;

（2）将控制器生成的控制量 $u$ 代入系统可得：

$$\begin{array}{}\text{(12)}& x^{(n)}+a_{n-1}{x}^{(n-1)}+...+a_2\dot{x}+a_{1}x=0.\end{array}$$

（3）控制器特征方程

$$\begin{array}{}\text{(12)}& s^n+a_n{s}^{(n-1)}+...+a_{2}s+a_1{s}^0=0.\end{array}$$

（4）将特征值统一配置在左半实轴同一位置（控制器带宽 ${\omega }_c$ ）

$$\begin{array}{}\text{(13)}& (s+{\omega }_c{)}^n=0.\end{array}$$

（5）比较可得控制器系数

$$\begin{array}{}\text{(14)}& a_i=C_n^{n+1-i}{\omega }_c^{n+1-i}.(i=1,2,\mathrm{3...},n).\end{array}$$

（6）C++程序计算控制律系数

	//控制律系数
	for (i = 0; i < ODE_NUM;i++)
	{
		beta_Wc[i] = powj(this->Wc, ODE_NUM-i)*comb(ODE_NUM , ODE_NUM-i);
	}

——2020.12.01——

Note：

（1）LESO带宽 ${\omega }_o$ 增大，有助于LADRC的稳定性和鲁棒性，但过大的 ${\omega }_o$ 可能导致控制器输出过大，不利于工程应用，实际调参需要折中^[1]；

（2）对于二阶系统，带宽 ${\omega }_o$ 虽然不会影响超调量的大小，但是会影响LESO的跟踪速度，${\omega }_o$ 越大，系统响应越快，但是在实际系统中， ${\omega }_o$ 的提高受观测噪声等的限制。增大 ${\omega }_o$ ，同时高频带增益也随之增加，噪声放大作用明显；

（3）约定当且仅当系统的状态 $x_i$ 和LESO跟踪误差 $\tilde{x}$ 都稳定时，称LADRC系统稳定；

（4）假设 $K_G=b_0/b,$ $K_G$ 偏离1越远，系统相角裕度越小。当 $K_G=4$ 时，系统不稳定，因此为了改善控制性能，参数 $b_0$ 的选取应该尽可能接近真实参数 $b$ ；^[2]

（5）实际调试参数时，首先确定系统的阶数N, 其次确定一个Wo, Wc不变（如Wo=50, Wc=20），再按照数量级，依次调试b0, 如0.01, 0.1, 1, 10, 100,..., 直到系统输出满足期望状态；

（6）增大带宽会导致系统噪声过大，因此可在LESO前端设置滤波器来抑制其影响；

（7）LESO的微分方程的求解，一般依赖初始值（RungeKutta），初值对系统输出的超调量有一定影响；

（8）Wo和Wc的单位都是rad/sec.

——2020.12.14——

参考

1. ^二阶系统线性自抗扰控制的稳定性条件.自动化学报.金辉宇
2. ^二阶系统线性自抗扰控制器频带特性与参数配置研究.控制理论与应用，袁东等。