在上一章文末我们提到了线性规划的缺点：在起始点与终止点处存在速度的突变。因此，为了保证机械臂在起始与终止时的作业稳定性、安全性与精准性，我们使用抛物线对关节运动曲线进行过渡，这种关节空间轨迹规划方法称为带抛物线（parabolic）过渡的线性规划，使得关节角速度能以平滑的方式进行改变。

一、理论分析

当上式等号成立时，关节运动曲线将不存在直线段，而是仅由两段抛物线组成；而当 趋于无穷大时，所规划的关节运动曲线将重新变为一条直线，即回到线性规划的情况

二、程序仿真
使用MATLAB对由抛物线过渡的线性插值的轨迹规划方法进行仿真。

第一步，定义机械臂的DH参数

%定义关节角度限制
lim1_min = -170 * radian1; lim1_max = 170 * radian1; %关节1(-170，170)
lim2_min = -132 * radian1; lim2_max =   0 * radian1; %关节2(-132，0)
lim3_min =    1 * radian1; lim3_max = 141 * radian1; %关节3(1，141)
lim4_min = -165 * radian1; lim4_max = 165 * radian1; %关节4(-165，165)
lim5_min = -105 * radian1; lim5_max = 105 * radian1; %关节5(-105，105)
lim6_min = -155 * radian1; lim6_max = 155 * radian1; %关节6(-155，155)
%定义关节旋转范围
lim1 = lim1_max - lim1_min;
lim2 = lim2_max - lim2_min;
lim3 = lim3_max - lim3_min;
lim4 = lim4_max - lim4_min;
lim5 = lim5_max - lim5_min;
lim6 = lim6_max - lim6_min;
%D-H参数表
theta1 = 0;    d1 = 169.77;     a1 = 64.2;    alpha1 = -pi/2;    offset1 = 0;
theta2 = 0;    d2 = 0;          a2 = 305;     alpha2 = 0;        offset2 = 0;
theta3 = 0;    d3 = 0;          a3 = 0;       alpha3 = pi/2;     offset3 = pi/2;
theta4 = 0;    d4 = -222.63;    a4 = 0;       alpha4 = -pi/2;    offset4 = 0;
theta5 = 0;    d5 = 0;          a5 = 0;       alpha5 = pi/2;     offset5 = 0;
theta6 = 0;    d6 = -36.25;     a6 = 0;       alpha6 = 0;        offset6 = -pi;

第二步，运动学建模

L(1) = Link([theta1, d1, a1, alpha1, offset1], 'standard');
L(2) = Link([theta2, d2, a2, alpha2, offset2], 'standard');
L(3) = Link([theta3, d3, a3, alpha3, offset3], 'standard');
L(4) = Link([theta4, d4, a4, alpha4, offset4], 'standard');
L(5) = Link([theta5, d5, a5, alpha5, offset5], 'standard');
L(6) = Link([theta6, d6, a6, alpha6, offset6], 'standard');
% 定义关节范围
L(1).qlim=[lim1_min,lim1_max];
L(2).qlim=[lim2_min,lim2_max];
L(3).qlim=[lim3_min,lim3_max];
L(4).qlim=[lim4_min,lim4_max];
L(5).qlim=[lim5_min,lim5_max];
L(6).qlim=[lim6_min,lim6_max];  
robot = SerialLink(L,'name','AR3');

第三步，定义起始点、终止点以及储存关节角度、角速度、角加速度的数组

T1=transl(-100,-100,300);                %齐次变换矩阵
T2=transl(200,-200,400);                %齐次变换矩阵
init_ang=robot.ikine(T1);                %运动学逆解
targ_ang=robot.ikine(T2);                %运动学逆解
q = zeros(step,N);   %初始化机械臂的位置
qd = zeros(step,N);  %初始化机械臂的角速度
qdd = zeros(step,N); %初始化机械臂的角加速度

第四步，计算抛物线公式

step = 50;                      %总步长，也可看作总时间
t_mid = step / 2;               %时间中点
t_acc = 10;                     %抛物线拟合段的持续步长(时间)
middle_ang = (targ_ang - init_ang) / 2 + init_ang;      %计算角度中值
a_ang = init_ang + (targ_ang - init_ang) / 12;           %定义起始抛物线拟合段的终点角度值
a_velocity = (middle_ang - a_ang) / (t_mid - t_acc);    %终止抛物线拟合段的终点角速度值
acceleration = a_velocity / t_acc;                      %加速度

第五步，进行轨迹规划

for t = 1:step
    % 起始抛物线拟合段
    if t <= t_acc
        q(t,:)   = acceleration * (t)^2 / 2 + init_ang;  %位置
        qd(t,:)  = acceleration * t;                     %角速度
        qdd(t,:) = acceleration;                         %角加速度
    % 直线段
    elseif (t > t_acc) && (t <= step - t_acc)
        q(t,:)   = a_velocity * (t - t_acc) + q(t_acc,:);%位置
        qd(t,:)  = a_velocity;                           %角速度
        qdd(t,:) = 0;                                    %角加速度
    % 终止抛物线拟合段
    else
        q(t,:)   = q(step - t_acc,:) + a_velocity * (t - (step - t_acc)) - acceleration * (t - (step - t_acc))^2 / 2;%位置
        qd(t,:)  = a_velocity - acceleration * (t + t_acc - step);                                                   %角速度
        qdd(t,:) = -acceleration;                                                                                    %角加速度
    end
end

效果如下图所示

三、编程实现
机械臂在运行过程中较为平稳，且在作往复运动时，臂体振动幅度变小。