首先分成两个Part吧：直观和公式。  

预备知识

  1. 协方差矩阵是对称矩阵，对角线上是各维度本身的方差，其他是不同维度间的协方差；   2. 贝叶斯公式： 3. 多维高斯分布：   4. 期望和协方差矩阵： 在[公式] 时，[公式]
 

直观部分

  先来说一说直观的。借鉴了这篇的图文：https://courses.engr.illinois.edu/ece420/sp2017/UnderstandingKalmanFilter.pdf   对一个小车的状态进行估计，假设无外力作用，即保持初速度持续不断的运动。假设马尔科夫性，即 [公式] 只与 [公式] 有关，给出一个递推方程 [公式] 。理论上可以通过这个方程求出任意时刻的状态，但是事实上会受到不确定因素的影响。   我们假设每个状态分量受到的不确定因素（噪声）服从正态分布，那么小车的状态分量也就服从正态分布，现在对小车进行状态估计。     上图是t=0时小车的位置服从的状态分布。     通过公式预测出小车在t=1时刻位置的正态分布（如上图）。   因为加了噪声，所以不确定度增加了，分布也变宽了。这时为了避免不确定度带来的偏差，用传感器测量一次小车的位置，如下图深色分布：     当然，传感器测量同样有不确定因素的干扰，这时，你该相信哪个呢？传感器也可能出错，估计方程也有偏差，这里就需要加权，卡尔曼滤波的K，也就是卡尔曼增益就是这个权重。这里捎带着提一下 [公式] 后面会在公式部分进行推导，这里的 [公式] 就是方程推算是一个后验概率， [公式] 和 [公式] 都是传感器观测方程的参数。     加权后的结果就是图中绿色部分了。  

公式推导部分

  这里我使用的是视觉SLAM十四讲中的最大后验概率推导，可能比书上看的明朗些，因为高博喜欢不写中间过程或者不给出之前从哪得到过的结论，直接拿来用。   声明： [公式] 是后验概率， [公式] 是先验概率   状态估计和观测模型的方程：① [公式]   可以看出是线性方程。   [公式] 先验与 [公式] 的方程：② [公式] ， [公式] 的均值是0，故不加在 [公式] 上了。   要求算的方程： [公式]  
意义：后验是由先验信息 [公式] 和其他信息 [公式] 综合得出的
  等式右侧都符合高斯分布，为啥子？因为噪声都是高斯分布的且是以0为均值，加上估计值当然是以估计值为均值的高斯分布了。   那么我们可以这样写：③ [公式] ，在②式中给出了 [公式] 的均值、协方差矩阵的求法。   随后我们对③式中高斯分布的二次项进行计算：   高斯分布公式：（看到exp后面的了吧）[公式]   推导：     ①这个式子后面我们会用到！   ②步将 [公式] 这就是卡尔曼增益。   这样就有了 [公式] ，可以注意到这里的卡尔曼增益是用了 [公式] 算出来的，感觉有点转圈圈，就是要求的东西放到求解的式子里了好像没有移项。   这里我们使用刚才推导给出的①式对 [公式] 继续推： 就有了：
  根据SMW（Sherman-Morrison-Woodbury）恒等式：  
  上述的最后一个恒等式，可得： [公式] 。   好了现在要求的后验概率已经求出了协方差，还有均值要求解，对③式中高斯分布的一次项进行计算：   其中式①是将等号左右均求转置，由于协方差矩阵是对称矩阵，所以不变。式②使用了 [公式] 和 [公式] 。最终得到了 [公式] 即如何递归的求解均值。   到这里公式部分就结束了。