我猜你不懂矩阵分析???机器人控制、SLAM先导知识 ——(1.1)线性空间

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2020年8月28日 14时30分

我猜你不懂矩阵分析???机器人控制、SLAM先导知识 ——(1.1)线性空间插图

1.1、线性空间

给定非空集合V和域F,若存在映射\sigma:V×V→V、(V_1,V_2)↦σ(V_1,V_2)则称\sigma为V上的加法。


1.1.1 域

域: 有+,-,×,÷的一个运算系统。

 

那么什么不是域呢?

 

Z_+={0,1,2,3,4,…}这就不是个域,因为不存在除法、减法的运算,0-1不再Z_+的集合内了。

Z={0,±1,±2,…}这也不是个域,因为不存在除法的运算。

 

关于一个运算是否封闭是一个很重要的问题。

 

那有理数(rational number,两个整数的比)集呢? 当然是!所以成为有理数域。故可以写做Q—— 这种叫黑板体,表示一个域的时候这样写。当然还有实数(Real Number)域R 和复数(Complex Number)域C。


1.1.2 卡氏积

×:集合的卡氏积(Cartesian Product)
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就是形成的元素对。可以通过 把平面和坐标轴的轴线的关系联系起来 通过卡氏积来理解。

 

加法理解为映射(二元函数)\sigma:V×V→V,任意抽取两个值进行加法运算,应当理解为从VV的卡氏积里抽取一个“对”,是有顺序的。
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1.1.3 ↦

↦: 需要注意→和↦的区别,第二个坐标多了一道;用法上:
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这就能看出区别,两者都代表映射关系,→两边都是集合,↦两边都是集合里的元素。

 

举例:函数sinx是一个映射,我们这里使用定义域(−∞,∞)到值域[−1,1]的映射。那么π到0的映射就能写成 π ↦ 0。

 

我们需要把固有的概念改变一下,把加法看做二元映射.


1.1.4 线性空间

上面都是先导知识,那么设V是一个非空集合,P是一个数域,在V上定义了一种代数运算,记为“+”;定义了P与V到V的一种代数运算,成为数量乘法(简称数乘),记为“⋅”,如果满足“通常的运算规则”,则称集合V为数域P上的线性空间。

 

通常的运算规则:

熟知的加法交换律,结合律,分配率,有零元,有负元等等。

解释一下有零元,就是“存在e∈V,满足e+v=v”。其实就是零和任意元素相加都是该元素本身。这里是抽象的概念。

那么有负元,就是“对任意v∈V存在a∈V使v+a=e,e是零元,称作a=−v”。

 

对于数乘:

1、(v_1+v_2)⋅k=v_1⋅k+v_2⋅k,这里的加法都是向量的加法;

2、v⋅(k_1+k_2)=v⋅k_1+v⋅k_2,这里前者加法是两个数字相加,后者是向量的加法;

3、v⋅(k⋅l)=(v⋅k)⋅l,这里有四个乘,第一个、第三个、第四个是数乘;第二个是数字的乘法。


 

为什么做数乘时把数放在向量右边??

 

若向量为列向量,数乘法的数写在右侧,若向量为行向量,数乘法的数写在左侧。

 

原因:

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可以看做一个[3,1]和[1,1]的矩阵相乘。

 

F(I,R_n)函数空间,I是一个区间,R_n是n个分量的域。例如:F([0,1],R^2),元素为我猜你不懂矩阵分析???机器人控制、SLAM先导知识 ——(1.1)线性空间插图(5),这里的f_1(x)和f_2(x)均是定义域为[0.1]的两个分量,函数空间囊括了如 f 一样的含有多个分量的在 I 区间下的函数元素。

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这就是F(I,R_n)函数空间中的函数元素,是在 I 区间下的。

 

定义(向量组及向量组拼成的抽象矩阵)

 

设V是F上的线性空间,V中的有限序列α_1,α_2,…,α_n称为V中的一个向量组,向量组按顺序排成的行称为向量组拼成的抽象矩阵。
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线性空间的目的是:将空间(笛卡尔坐标系)解析几何的方法抽象到一般线性空间里。


1.1.5 线性空间的相关性

向量组α_1,α_2,…,α_n称为线性相关,如果存在不全为零的p个数k_1∈F,i=1,…,p使得
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向量组α_1,…,α_p称为线性无关,如果它不是线性相关的

 

线性相关:
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注:(∃a)P(a)的否定为我猜你不懂矩阵分析???机器人控制、SLAM先导知识 ——(1.1)线性空间插图(10),就是对任意的a都不具有P(a)的性质。

 

线性无关:

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这里的0是线性空间中的0向量不是数域的0。

 

(逆否命题)若我猜你不懂矩阵分析???机器人控制、SLAM先导知识 ——(1.1)线性空间插图(12)

(线性相关性的矩阵描述)

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这是一个齐次方程组。

 

若线性相关则这个方程组有非零解;若线性无关则这个方程组只有零解。

 

两个向量组之间的线性表示:

α_1,…,α_pβ_1,…,β_q;β

 

称 β 可由 α_1,…,α_p线性表示。

如果在 k_1,…,k_p∈F,使得 β=α_1 k_1+….+α_p k_p

 

β_1,…,β_q可由α_1,…,α_p线性表示。

如果每个β_1都能由α_1,…,α_p线性表示。

 

(矩阵表达)

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β可由{α_1}线性表示,这是一个非齐次线性方程组。

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AX=B(矩阵方程有解)

 

线性表示是具有传递性的。


1.1.6 向量组的极大线性子组

 

向量组的极大线性子组:

 

从母序列中挑出一个子序列构成向量组,这个子序列构成的向量组为原来母序列的子组。

 

子组 β_1,…,β_s称为 α_1,…,α_p 的极大线性子组,若:

  • {β_1}线性无关;
  • 若 {γ_k}=γ_1,…,γ_t也是 α_1,…,α_p的子组,s<t ,则{γ_k}线性相关。就意味着在线性无关的范围内,{β_1}已经是最大的向量空间了。

 

极大性: ∀α_1∈{α_1,…,α_p},α_1都可由{β_1}线性表示。(生成性)

 

母组可由极大线性子组线性表示。

 

向量组的极大线性无关组中向量的个数称为向量组的秩。


1.1.7 基与坐标

定义(有限维线性空间、基、坐标)

 

V是数域 F上的线性空间,如果有正整数n,即V中的向量组 α_1,…,α_n使得:

 

  • (无关性) {α_1}线性无关;
  • (生成性)∀α∈V ,均可由{α_1}线性表示

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则称V是 n 维线性空间。

 

  • 线性空间的维数是唯一的。
  • {α_1}成为 V 的一个基(坐标系)。

 

  • 我猜你不懂矩阵分析???机器人控制、SLAM先导知识 ——(1.1)线性空间插图(17)称为 α∈V 沿着该基的坐标向量。

[抽象向量] = [基矩阵] [坐标向量]


1.1.8 基实现抽象线性空间到标准线性空间之间的一一对应

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对任意 (Arbitrary) 的s_2属于S_2,存在s_1属于S_1,使得s_1的项就是s_2。这称作满射(surjection)

 

\sigma(s_1)=\sigma(s_1′)则s1=s′1,这称作 单射(injection)

 

F^n的标准基与一般基

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F^n的标准基。标准基向量拼成的基矩阵是单位矩阵。单位矩阵的列向量组是标准基向量组。

 

F^n是标准线性空间。

 

如果一个向量组满足秩和组内向量个数相等,则其向量组线性无关。(无关性)

 

如果 Ax=b 该方程组有解,则Rank(A)=Rank(A∣b)Rank(A)=Rank(A∣b),矩阵的秩和增广矩阵的秩相等,也就是方程组和未知数个数相等。

 

秩:行秩 = 列秩 = 秩。

 

无限维空间的例

我猜你不懂矩阵分析???机器人控制、SLAM先导知识 ——(1.1)线性空间插图(20), 且f可写成多项式}简单讲就是向量都是多项式,且定义域和值域都在我猜你不懂矩阵分析???机器人控制、SLAM先导知识 ——(1.1)线性空间插图(21)这个数域上。

 

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1.1.9 子空间

定义: 设V是F上的线性空间,W≤V是非空子集。若:

  • 对加法封闭α、β∈W⟹α+β∈W。即在W中任意取两个元素,经过加法运算还在W内;数乘相似
  • 对数乘封闭k∈F,α∈W⟹α⋅k∈W

则称W是V的一个子空间。


①向量组生成的子空间及子空间的生成组

(向量组生成的子空间及子空间的生成组)

 

α_1,α_2,…,α_p是向量组,定义一个我猜你不懂矩阵分析???机器人控制、SLAM先导知识 ——(1.1)线性空间插图(23)是V的一个子空间。这就是向量组生成的子空间。

 

已知W,若有向量组 α_1,α_2,…,α_p,使得W=span{α_1,α_2,…,α_p} ,我们称α_i为子空间的生成组,生成组提供了子空间的一种表现方式。


②矩阵的核与像

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矩阵的核与像。我猜你不懂矩阵分析???机器人控制、SLAM先导知识 ——(1.1)线性空间插图(25)的原因是我猜你不懂矩阵分析???机器人控制、SLAM先导知识 ——(1.1)线性空间插图(26)那么矩阵相乘就需要一个n行的x) 是我猜你不懂矩阵分析???机器人控制、SLAM先导知识 ——(1.1)线性空间插图(27)的子空间,这个子空间称作 AA矩阵的核。

 

也就是以A为系数的齐次方程组的解空间。

 

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这里的A_x实则是A的列向量组以x为系数的线性组合。A的像就是A的列向量组张成的子空间。


③子空间的交与和

设U、W、W是V的子空间

 

U∩W也是子空间,称为U、W、W的交(子空间);

我猜你不懂矩阵分析???机器人控制、SLAM先导知识 ——(1.1)线性空间插图(29)也是子空间,称为U、W、W的和(子空间)。

 

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