机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化

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2020年9月22日 15时39分

Hello,欢迎做客我的博客!
在动力学仿真中,我们不得不采用迭代的方法进行数值计算,这个时候我们会用到离散化的数学模型。
可是,我们在建立模型时,考虑的都是连续的情况,那么如何将一个连续的模型转换为离散模型呢?
这篇文章将告诉你答案。

1 模型表示方法

1.1 连续模型

机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图

 

1.2 离散模型

机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(1)

 

其中,Δ T \Delta TΔT是采样周期。注意,由于输出方程本身就不是微分方程,所以不需要进行离散化,离散系统和连续系统的系数矩阵相同。

2 离散化方法

2.1 精确离散化方法

离散化的主要目标就是要保证离散化后的系统特性不变,具体而言,我们期望离散化后的系统和连续系统的系统状态X XXt = k Δ T t=k\Delta Tt=kΔT的时刻下保持一致。

 

基于此思想,我们可以推导出离散化方法。

 

第一,连续模型的解可以表示为:

 

机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(2)

 

第二,取机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(3),由于我们希望离散化后的系统和原系统在t 0 t_0t0t tt时刻的系统状态相等,因此我们将二者代入上式,可到离散化系统的方程:

 

机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(4)

 

其中,机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(5)。此外,在机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(6)期间,控制量不变,为U [ k Δ T ]

 

第三,令z = ( k + 1 ) Δ T − τ ,代入上式可得:

 

机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(7)

 

第四,取机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(8),可得离散系统方程为:

 

机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(9)

 

以上离散化方法被称之为精确离散化方法,与此相对的我们在实际应用中还常常用到一种近似离散化方法

2.2 近似离散化方法

这种离散化方法的主要思想是用差分来代替微分,即:

 

机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(10)

 

于是,有:

 

机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(11)

 

2.3 两种离散化方法的联系

事实上,精确方法是近似方法的推广,精确法甚至可以用到时变系统中。因此,我们通过某种简化,就可以把精确方法转换为近似方法。

 

我们知道:

 

机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(12)

 

把上式代入表达式机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(13),可得:

 

机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(14)

机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(15)

 

由于,假设采样周期Δ 很小,所以可以省略高阶项,于是得到:

 

机器人动力学仿真——状态空间模型的离散化插图(16)

 

可知,上式与近似方法取得的结果完全相同。

3 结论

事实上,我们在仿真中通常都是采用近似方法来迭代求解微分方程,那么这么做有没有问题呢?

 

在这篇文章中,我们看到,当采样时间很短时,近似方法是可以和精确方法等价的。

 

所以,只要采用较短的采样时间,我们可以使用近似方法进行模型的仿真!

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