视觉SLAM-从零爬起打破秃头魔咒——(三)李群与李代数

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2020年9月23日 11时35分

嘿嘿嘿我回来了!

李群和李代数真的让我头大,做为一个本科生,又不像高博他清华大学本科线性代数就先讲群,我们都是从矩阵起步的。所以很多数学知识真的是从零学起,又夹杂了很多近世代数和抽象代数的知识,就更难以理解了。我不光记录下了学习的笔记还有一些,学到一定地方的感悟。↓Notability奉上!

 

视觉SLAM-从零爬起打破秃头魔咒——(三)李群与李代数插图

视觉SLAM-从零爬起打破秃头魔咒——(三)李群与李代数插图(1)

视觉SLAM-从零爬起打破秃头魔咒——(三)李群与李代数插图(2)

 

下面是指数映射和对数映射↓

 

视觉SLAM-从零爬起打破秃头魔咒——(三)李群与李代数插图(3)

 

这里做个补充,泰勒展开中的求偏导是对t进行求导,这里略去了。上面我们提到过R=exp(ψ^t)这里同样,后面的推导中也是如此。会在后面扰动模型的那章看到详细的解释推导。

 

视觉SLAM-从零爬起打破秃头魔咒——(三)李群与李代数插图(4)

 

雅可比矩阵把一个超平面的仿射坐标系变换成了一个超曲面坐标系;雅可比行列式就是曲面坐标系下单位微元和仿射坐标系下单位微元面积的比。雅可比矩阵把一个空间里的一个平面坐标系变换成了无数个极小平面坐标系(曲面的切平面);雅可比行列式是切平面上每个坐标系下极小单位元和原坐标系单位元面积的比

 

这里重述一下罗德里格斯公式,因为之前我自己的理解有偏差。上一期在证明问题:罗德里格斯公式的时候,n是旋转轴方向上的单位向量;θ是该旋转向量的模长,值为旋转角∠!!!意味着旋转向量就是一个以旋转轴为方向,长度为旋转角大小的向量。这样就能把φ=nθ和罗德里格斯公式的证明联系起来了。

 

然后是求导与扰动模型↓

 

视觉SLAM-从零爬起打破秃头魔咒——(三)李群与李代数插图(5)

视觉SLAM-从零爬起打破秃头魔咒——(三)李群与李代数插图(6)

 

这里添加一张图片便于更好的理解导数模型,理解左雅可比矩阵/右雅可比矩阵的几何意义

 

视觉SLAM-从零爬起打破秃头魔咒——(三)李群与李代数插图(7)

 

李代数(n[旋转轴]θ[旋转角度,旋转向量的模]:旋转向量) 和李群(R)单位元的比

 

视觉SLAM-从零爬起打破秃头魔咒——(三)李群与李代数插图(8)

视觉SLAM-从零爬起打破秃头魔咒——(三)李群与李代数插图(9)

 

这样就可以把SE(3)中左雅可比Jl和ρ的乘积理解为坐标系变换前后,位移的比例变换


最后分享点经验:

 

其实我和大多数非985名校的本科生一样,不会像清华那样前瞻性很强,或者说讲述《线性代数》《高等数学》《概率论与数理统计》等等等等的时候,很工程化。我看过哈工大严质彬教授的《矩阵分析》,总是听说但总是收藏没有去看的MIT Gilbert Strang老教授的”Introduction to Linear Algebra”,确确实实是会打破你固有的学习模式,不是国内普通大学的数字游戏。

 

在学习vSLAM的时候会有很多困惑,尤其对于非数学系和非计算机系的同学,我还好偏向控制,还是可以接受的。这些非科班的同学会在数学上遭遇很高的threshold。我自己的体验是,多去沉浸式回想,把抽象化的用手指在空中比划模拟,找到一个适合自己理解的,即便不是科学的,但是会对牢记key point,在使用时也会更得心应手。

 

再一个是多查,遇到不懂得名词就查,我刚开始很多都遗忘了(因为平时一直不用,我这个专业天天就是和复数啊、什么复频域啊打交道)遗忘了“正交矩阵”、“迹”、“正定和半正定矩阵”等等的知识。在遗忘时千万别放过,把查找到的记录在旁边,在下一次看到时就会一点点的加深印象。

 

最后是PDF链接昂!!!

 

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提取码:15m0

 

 

 

 

 

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评论列表(1条)

  • kh;ki 2020年10月11日 下午3:39

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