刚体动力学基础学习
1 符号
r ：刚体上某个质量微元对固定点O的位置矢径
rP ：刚体上一点P对固定点O的位置矢径
ρ ：刚体上某个质量微元对基点P的位置矢径
ρc：刚体质心C对P的位置矢径
m ：质量
vk：点k的速度
ω：角速度
ak：点k的加速度
Q：动量
Gk：关于点k的绝对动量矩
Gk ′：关于点k的相对动量矩
F ：合外力
Lk：对点k的合外力矩
2 动量
3 动量矩
动量矩的这部分内容相对复杂，因为要分成好多种情况进行讨论。分别是：
- 对固定点的动量矩
- 对动点的绝对动量矩
- 对动点的相对动量矩
首先，要对动点和固定点做区分。动点就是在动坐标系上的点，固定点就是在固定坐标系（或者说是惯性系）下的点。
其次，要对绝对动量矩和相对动量矩做区分。动量矩的计算公式是矢径和速度的乘积的积分，所谓绝对动量矩就是用绝对速度求解的动量矩，而相对动量矩就是用相对速度（相对动坐标系的速度）来求解的动量矩。由此可知，对固定点求动量矩，都没有绝对动量矩和相对动量矩的说法，因为对固定点都是绝对动量矩。而对于动点求动量矩，就有二者的区分。
另外，特别值得注意的是，动点中有一个点，非常特殊，那就是质心，它是占据有非常特殊地位的一个动点。对于质心而言，绝对动量矩和相对动量矩是相等的。而对于一般的动点，这一条完全不成立。
3.1 对固定点O的动量矩
3.2 对动点P的相对动量矩
公式(3-1)右端的第三项，实际上就是刚体在相对P点平动坐标系运动中对P点的动量矩。
它的意思就是说，假设有一个坐标系固连在P点上，这个坐标系相对固定点O在平动，然后，计算刚体相对于P点的动量矩。因此，上式也可以写成：
3.3 对动点P的绝对动量矩
公式(3-1)右端的第二和第三项，实际上是刚体对P点的绝对动量矩。
而上式又可以写作：
3.4 对质心C的相对动量矩和绝对动量矩
相对动量矩
刚体在绝对运动（相对于固定点O的运动）中，对刚体质心的动量矩，等于，刚体在相对运动（相对基点P的运动）中对质心的动量矩。即：
3.5 固定点的动量矩与对动点的动量矩之间的关系
对固定点的动量矩与对动点P的绝对动量矩的关系为：
当P点就是C点时，
4 动量定理
上式便是牛顿动力学方程。
5 动量矩定理
5.1 动量矩基本定理（无需证明的）
刚体对固定点O的动量矩定理：
刚体对质心的动量矩定理：
5.2 刚体对动点的绝对动量矩定理
首先申明，刚体对动点的绝对动量矩就是前文推导的
G P G_PGP。对动点的绝对动量矩的意思就是，对平移坐标系的原点求动量矩，但是求解时用的是绝对速度。
所以，
所以求导，
其中，
LP 代表了刚体所受的外力系对动点P的主矩，它的定义为：
最终，刚体对动点的绝对动量矩定理的表达形式为：
5.3 刚体对动点的相对动量矩定理
首先申明，刚体对动点的相对动量矩就是前文推导的
GP′′。对动点的相对动量矩的意思就是，对平移坐标系的原点求动量矩，但是求解时用的是相对速度。
求导：
又因为，
GP ′ = JP ⋅ ω，其中
JP 是一个张量在某组坐标系（基）下的坐标矩阵，它的取值和基的选取非常相关。如果
JP 表示在固定坐标系下，那么由于刚体的旋转，
JP 的取值时时刻刻都会发生变化。而如果
JP 表示在与刚体固连的动坐标系下，那么其取值可以为一个常量。另外，必须注意，当
JP 表示在动坐标系下时，此时公式中相应的
ω 也是表示在动坐标系下的。所以：
所以，若把公式 (5-9) 带入公式 (5-8) ，可得：
若 P 点就是质心，则
ρc = 0，由公式 (5-10)，可得：
上式便是鼎鼎大名的欧拉动力学方程了。
最终，刚体对动点的相对动量矩定理的表达形式为：
6 牛顿—欧拉公式
以上，是大名鼎鼎的牛顿欧拉公式，看着形式很简单，但在应用时，有一些细节务必注意。
- a c a_cac是质心处的绝对加速度
- J c J_cJc是质心处定义的在动坐标系下表示的惯性张量
- ω \omegaω是刚体在动坐标系下表示的角速度，通常也就是体坐标系
- L c L_cLc是对质心的合外力矩
7 利用牛顿—欧拉公式推导常见的多连杆机器人动力学方程
假设所有量都是表示在动坐标系下的，也就是刚体的随体坐标系{b}系，另外{b}系的原点设置在b点，b点与刚体质心不重合。此时的牛顿欧拉方程为：
首先分析牛顿方程：
所以，得到结论：
接下来分析欧拉方程：
最终形式为：
其中：
所以，结合牛顿和欧拉方程，写成矩阵形式，有：
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