机器人动力学建模之刚体动力学基础学习

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2020年9月24日 14时23分

刚体动力学基础学习

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图

 

1 符号

r :刚体上某个质量微元对固定点O的位置矢径

rP :刚体上一点P对固定点O的位置矢径

ρ :刚体上某个质量微元对基点P的位置矢径

ρc:刚体质心C对P的位置矢径

m :质量

vk:点k的速度

ω:角速度

ak:点k的加速度

Q:动量

Gk:关于点k的绝对动量矩

Gk:关于点k的相对动量矩

F :合外力

Lk:对点k的合外力矩

 

2 动量

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(1)

3 动量矩

动量矩的这部分内容相对复杂,因为要分成好多种情况进行讨论。分别是:

 

  • 对固定点的动量矩
  • 对动点的绝对动量矩
  • 对动点的相对动量矩

 

首先,要对动点和固定点做区分。动点就是在动坐标系上的点,固定点就是在固定坐标系(或者说是惯性系)下的点。

 

其次,要对绝对动量矩和相对动量矩做区分。动量矩的计算公式是矢径和速度的乘积的积分,所谓绝对动量矩就是用绝对速度求解的动量矩,而相对动量矩就是用相对速度(相对动坐标系的速度)来求解的动量矩。由此可知,对固定点求动量矩,都没有绝对动量矩和相对动量矩的说法,因为对固定点都是绝对动量矩。而对于动点求动量矩,就有二者的区分。

 

另外,特别值得注意的是,动点中有一个点,非常特殊,那就是质心,它是占据有非常特殊地位的一个动点。对于质心而言,绝对动量矩和相对动量矩是相等的。而对于一般的动点,这一条完全不成立。

3.1 对固定点O的动量矩

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(2)

 

3.2 对动点P的相对动量矩

公式(3-1)右端的第三项,实际上就是刚体在相对P点平动坐标系运动中对P点的动量矩。

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(3)

 

它的意思就是说,假设有一个坐标系固连在P点上,这个坐标系相对固定点O在平动,然后,计算刚体相对于P点的动量矩。因此,上式也可以写成:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(4)

 

3.3 对动点P的绝对动量矩

公式(3-1)右端的第二和第三项,实际上是刚体对P点的绝对动量矩。

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(5)

 

而上式又可以写作:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(6)

 

3.4 对质心C的相对动量矩和绝对动量矩

相对动量矩

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(7)

 

刚体在绝对运动(相对于固定点O的运动)中,对刚体质心的动量矩,等于,刚体在相对运动(相对基点P的运动)中对质心的动量矩。即:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(8)

 

3.5 固定点的动量矩与对动点的动量矩之间的关系

对固定点的动量矩与对动点P的绝对动量矩的关系为:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(9)

 

当P点就是C点时,

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(10)

 

4 动量定理

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(11)

 

上式便是牛顿动力学方程。

5 动量矩定理

5.1 动量矩基本定理(无需证明的)

刚体对固定点O的动量矩定理:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(12)

 

刚体对质心的动量矩定理:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(13)

 

5.2 刚体对动点的绝对动量矩定理

首先申明,刚体对动点的绝对动量矩就是前文推导的G P G_PGP。对动点的绝对动量矩的意思就是,对平移坐标系的原点求动量矩,但是求解时用的是绝对速度。

 

所以,

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(14)

 

所以求导,

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(15)

 

其中,LP 代表了刚体所受的外力系对动点P的主矩,它的定义为:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(16)

 

最终,刚体对动点的绝对动量矩定理的表达形式为:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(17)

 

5.3 刚体对动点的相对动量矩定理

首先申明,刚体对动点的相对动量矩就是前文推导的 GP′′。对动点的相对动量矩的意思就是,对平移坐标系的原点求动量矩,但是求解时用的是相对速度。

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(18)

 

求导:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(19)

 

又因为,GP ′ = JP ⋅ ω,其中 JP是一个张量在某组坐标系(基)下的坐标矩阵,它的取值和基的选取非常相关。如果 JP 表示在固定坐标系下,那么由于刚体的旋转, JP 的取值时时刻刻都会发生变化。而如果 JP 表示在与刚体固连的动坐标系下,那么其取值可以为一个常量。另外,必须注意,当 JP 表示在动坐标系下时,此时公式中相应的 ω 也是表示在动坐标系下的。所以:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(20)

 

所以,若把公式 (5-9) 带入公式 (5-8) ,可得:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(21)

 

若 P 点就是质心,则 ρc = 0,由公式 (5-10),可得:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(22)

 

上式便是鼎鼎大名的欧拉动力学方程了。

 

最终,刚体对动点的相对动量矩定理的表达形式为:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(23)

 

6 牛顿—欧拉公式

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(24)

 

以上,是大名鼎鼎的牛顿欧拉公式,看着形式很简单,但在应用时,有一些细节务必注意。

  • a c a_cac是质心处的绝对加速度
  • J c J_cJc是质心处定义的在动坐标系下表示的惯性张量
  • ω \omegaω是刚体在动坐标系下表示的角速度,通常也就是体坐标系
  • L c L_cLc是对质心的合外力矩

 

7 利用牛顿—欧拉公式推导常见的多连杆机器人动力学方程

假设所有量都是表示在动坐标系下的,也就是刚体的随体坐标系{b}系,另外{b}系的原点设置在b点,b点与刚体质心不重合。此时的牛顿欧拉方程为:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(25)

 

首先分析牛顿方程:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(26)

 

所以,得到结论:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(27)

 

接下来分析欧拉方程:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(28)

 

最终形式为:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(29)

 

其中:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(30)

 

所以,结合牛顿和欧拉方程,写成矩阵形式,有:

 

机器人动力学建模之刚体动力学基础学习插图(31)

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