从贝叶斯推断到SLAM的数学模型

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2020年10月26日 09时19分

从贝叶斯推断到SLAM的数学模型

  • 贝叶斯推断
  • SLAM数学问题简单描述
    • 滤波方式
    • 非线性优化方式

SLAM的全称是Simultaneous Location And Mapping,即同时定位与建图。机器人要在未知的环境中实时的估算自己的运动、定位并建图。 想象一个移动机器人在未知环境中移动,使用位于机器人上的传感器对一些未知的地标进行观察,就如下图所示。

 

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要描述SLAM问题,还得从贝叶斯推断说起。

贝叶斯推断

贝叶斯定理,实际上是从条件概率衍生而来的。所以我们先从条件概率公式说起。

首先我们要知道三个概念:

  1. 条件概率,表示事件A在事件B发生的条件下发生的概率,用符号P ( A ∣ B ) P(A|B)P(AB)表示;
  2. 联合概率,表示两个事件共同发生的概率,可表示为P ( A ∩ B ) P(A\cap B)P(AB) 或者P ( A , B ) P(A,B)P(A,B)P ( A B ) P(AB)P(AB)
  3. 边缘概率,表示某个事件发生的概率,事件A的边缘概率可表示为P ( A ) P(A)P(A),事件B的边缘概率可表示为P ( B ) P(B)P(B)

设 A 与 B 为样本空间 Ω 中的两个事件,其中 P(B)>0。那么在事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的条件概率为:

 

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用文氏图表达:

 

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贝叶斯定理(英语:Bayes’ theorem)是概率论中的一个定理,描述在已知一些条件下,某事件的发生概率。比如,如果已知某癌症与寿命有关,使用贝叶斯定理则可以通过得知某人年龄,来更加准确地计算出他罹患癌症的概率。

 

我们可以把各项称之为:
P ( A ∣ B ) P(A|B)P(AB):后验概率
P ( A ) P(A)P(A):先验概率
P ( B ∣ A ) P(B|A)P(BA):似然率
P ( b ) P(b)P(b):边缘似然率

 

一般来说,直接求后验概率会很难求,那么怎么办呢?我们可以求得右侧的概率来推断后验概率是多少。

举个例子,隔壁班有个妹子经常看见你就对你笑,你很喜欢这个妹子,但又担心表白失败,作为工科生,肯定要理智一点,想判断她是否喜欢你,那么产生了一个后验概率:

 

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妹子在经常对你笑的前提下,喜欢你的概率是90%,还不快去表白?

贝叶斯推断的本质是求解某事的条件概率,我们可以把先验信息看成是旧的看法,可能性函数看成是新的信息,后验概率看成是新的看法

有同学可能要问了……这个可能性函数是要怎么来的?说实话,我也在这里想了很久。假设我们要解决的是机器学习中的分类问题(朴素贝叶斯),那么我们往往会掌握一些数据,而可能性函数就是通过这些数据来计算的,朴素贝叶斯的核心就是求解贝叶斯公式右侧的所有概率,进而分类出最有可能发生的事件。

贝叶斯推断和朴素贝叶斯的区别在于,贝叶斯推断只是单纯推断某件事发生的概率朴素贝叶斯是把所有可能的事件概率计算出来,取概率最大的当成分类的结果。

比如一共有P ( 喜 欢 你 ∣ 对 你 笑 ) P(喜欢你|对你笑)P()P ( 不 喜 欢 你 ∣ 对 你 笑 ) P(不喜欢你|对你笑)P()两种后验概率,贝叶斯推断是计算其中一种后验概率发生的概率,而朴素贝叶斯是把两种都算了,然后返回概率大的事件给你,在上述的例子中,朴素贝叶斯有种决策的效果,它告诉你应该去表白。好了,貌似扯远了……
关于朴素贝叶斯可看此处

那这样我们就介绍完贝叶斯推断了。

 

SLAM数学问题简单描述

在SLAM问题上,可以用贝叶斯框架来进行描述(不然也不会费这么多话来解释贝叶斯推断了)。在SLAM中,我们可以为相机(或机器人)定义两个变量,一个是状态量,一个是观测量。分别用以下字母来进行表示:

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这里最大化后验概率意思就是最可能的状态是什么

 

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关于卡尔曼滤波的工作方式可见:卡尔曼滤波

 

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这时候,假设模型服从高斯分布。关于高斯分布的一些性质,可看此处:高斯分布

 

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可以看到我们已经把SLAM问题转化成一个最小二乘问题了,接下来,我们使用某种非线性优化方法去解它,比如高斯牛顿法:

 

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重复以上多次,直到增量接近于0,非线性优化就完成了,SLAM问题也就解决了。

参考文献:
https://zhuanlan.zhihu.com/p/81728490?utm_source=wechat_session
https://games-cn.org/games-webinar-20180426-43/
视觉SLAM十四讲

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