机器人理论(2)齐次坐标矩阵:旋转矩阵与角度的相互转化

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2020年11月12日 09时35分

引言

都知道旋转矩阵表达的是刚体(坐标系{B})相对参考坐标系{A}的姿态信息,那如何利用已知的旋转矩阵\large _{B}^{A}\textrm{R},将{A}旋转一定角度变成与{B}一样的姿态呢?有几种方法:固定角旋转、欧拉角旋转、angle-axis表达法、Quaternion表达法等可以求出这个“角度”,在此介绍前两种。

另外,机器人学里常规是如何将刚体的位置、姿态信息融合在一起的呢?

 

目录

定角(Fixed angles)

X-Y-Z型公式:

举例:

欧拉角(Euler angles)

以Z-Y-Z型为例的公式:

举例:

齐次变换矩阵(Homogeneous transformation matrix)

齐次矩阵的作用

齐次矩阵的运算特性

 


定角(Fixed angles)

 

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围绕固定的坐标系转动。固定坐标系的原点,坐标系再围绕已经固定的轴转动,全程原坐标系不动。

注意!移动位置的顺序可以调换,但是旋转的顺序不能调换,结果不一样。

 

以X-Y-Z型为例子:即先围绕X轴进行转动γ°,然后围绕Y轴进行转动β°,最后围绕Z轴进行转动α°。注意逆时针为正方向。

 

X-Y-Z型公式:

重点:先转的轴的\large R放后面运算,如下

 

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举例:

由角度推旋转矩阵

 

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由旋转矩阵推角度

 

微信图片_20201109133714

 

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【解释】在这一题,我们可以借助我在“机器人理论(一)”文章中“旋转矩阵的特性和作用”的第三小节的公式,直接使用

\large R_{Y}\large R_{X} 两个矩阵,并且结合定轴旋转的“先转的放后面”,直接\large R_{X}\large R_{Y}相乘即可。

 



欧拉角(Euler angles)

 

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“自旋转”,围绕当下(自己)的坐标系某轴转动,就是每次旋转,都固定被围绕的某一轴,另两轴动。

每次旋转,整个坐标系都会改变位置。

 

以Z-Y-Z型为例的公式:

重点:先转的轴的\large R放前面运算,如下

 

微信图片_20201109133903微信图片_20201109133934

 

举例:

矩阵转角度:

 

微信图片_20201109133958

 

角度推旋转矩阵直接代公式就行,在这略。

 

微信图片_20201109134020

 

【解释】在这一题,我们可以借助我在“机器人理论(一)”文章中“旋转矩阵的特性和作用”的第三小节的公式,直接使用

 

微信图片_20201109134044

 

\large R_{Z}\large R_{X} 两个矩阵,并且结合自旋转的“先转的放前面”,直接按照顺序相乘即可。

 


(一)中我们已经知道如何表达位置信息的表达和姿态信息,就可以将它们合在方形矩阵——齐次变换矩阵里,以此表达刚体的空间信息。

 

微信图片_20201109134119

 

齐次变换矩阵(Homogeneous transformation matrix)

也有称”齐次坐标“、”齐次坐标系“、”齐次矩阵“的。

包括物体的位置信息与姿态信息的矩阵,其实就是记录姿态信息的旋转矩阵和位置信息的合成。最后一行为固定数字0001。即n维的向量用一个n+1维向量来表示(多加了最后一行),所以称为”齐次“。

 

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齐次矩阵的作用

该矩阵的三个作用与旋转矩阵一致

(1)可以描述坐标系{B}相对于{A}的空间信息:\large \large _{B}^{A}\textrm{T}

(2)可以将某物体在坐标系{B}上的空间信息转换到{A}上(Mapping)

它的运算,例如上面提到的定角旋转——先转的放后面。

 

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举例:

 

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3)可以得出同一个坐标系{A}中的某向量P旋转某角度θ后的坐标(operator)

它的运算类似于上面提到的欧拉角旋转——先转的放前面。

证明:

 

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举例:

 

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齐次矩阵的运算特性

(1)连续性:\large _{}^{A}\textrm{P}=_{B}^{A}\textrm{T}_{C}^{B}\textrm{T}_{ }^{C}\textrm{P}=_{C}^{A}\textrm{T}_{ }^{C}\textrm{P}

 

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旋转矩阵也有同样性质。

 

(2)反矩阵=转置矩阵:\large \small _{B}^{A}\textrm{T}^{^{-1}}=\small _{A}^{B}\textrm{T}

齐次矩阵特性的实际应用:利用已知的T关系,求解出未知关系的 T 矩阵

 

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