基础知识

  速度矢量,角速度矢量,叉乘运算   速度是描述质点运动快慢和方向的物理量,等于位移对时间的微分。同时也等于加速度对时间的积分。   角速度: 定义:一个以弧度为单位的圆(一个圆周为2π,即:360度=2π),在单位时间内所走的弧度即为角速度,ω=dφ/dt   角速度的方向垂直于转动平面,可通过右手螺旋定则来确定。 线速度=角速度叉乘半径(v = w × r v=w\times rv=w×r)(由圆心向外指) 根据叉乘的右手法则来规定角速度的方向   叉乘:   微信图片_20201209134509  

刚体的线速度和角速度

 

线速度

  把坐标系{B} 固连在一刚体上,要求描述相对于坐标系{A} 的运动B Q 这里已经认为坐标系{A} 是固定的。   坐标系{B} 相对于坐标系{A} 的位置用位置矢量A P B O R G 和旋转矩阵1607492891(1)来描述。此时,假定方位1607492891(1)不随时间变化,则Q点相对坐标系{A} 的运动是由于A P B O R GB Q随时间的变化引起的。   求解坐标系{A} 中Q 点的线速度是非常简单的。只要写出坐标系{A} 中的两个速度分量,求其和为:A V Q = A V B O R G + 1607493040(1)   微信图片_20201209135057   (1)只适用千坐标系{B}和坐标系{A} 的相对方位保持不变的情况!  

角速度

  如图1两坐标系原点重合且相对线速度为零,固定在坐标系{B}上的矢量B Q 以角速度 A Ω B 相对于坐标系{A}旋转。那么从{A}看固定在{B}中的矢量随时间变化,可以根据下图分析:   微信图片_20201209135149   从坐标系{B}看矢量Q是不变的:B V Q = 0  从坐标系{A}中看点Q的速度为旋转角速度A Ω B   下图显示了矢量Q绕A Ω B 的旋转,是从坐标系{A}中观测到的   微信图片_20201209135321   可以由图2-3得知:   1、A Q 的微分增量一定垂直于A Ω B A Q 2、微分增量的大小为: Δ Q = ( A Q s i n θ ) ( A Ω B Δ t   又饿了大小和方向,就可以得到矢量积,根据角速度矢量公式有1607493332(1) 但是一般情况下Q是相对于坐标系{B}变化的,加上一个分量,可有:   1607493367(1)   紧接着将以上线速度与角速度扩展为坐标系原点不重合的情况,最终可以推导出从坐标系{A}观测坐标系{B}中固定速度矢量的最终普遍表达式:   1607493402(1)  

连杆间的速度传递

  连杆间速度的传递就如同位姿变换一般,可以通过连杆间的推导从基座的速度逐步推导到末端速度   角速度 当两个ω 矢量都是相对于同一个坐标系时,那么这些角速度能够相加。因此,连杆i+l 的角速度就等于连杆i的角速度加上一个由于关节i+ 1 的角速度引起的分量。参照坐标系{i}, 可写成:(实在懒得打公式,直接截图了)   微信图片_20201209135715   其中   微信图片_20201209140201   微信图片_20201209140225   注意:只有当所有速度矢量都变换到相对于通一个坐标系表述时,两个速度矢量才可以相加!   可以带到得到连杆i+1角速度相对于坐标系{i+1}的表达式1607493775(1)   线速度 坐标系{i+ 1} 原点的线速度等于坐标系{i} 原点的线速度加上一个由于连杆i的角速度引起的新的分量。因此有:   微信图片_20201209140347   微信图片_20201209140419   微信图片_20201209140437   微信图片_20201209140507   要得到连杆3的速度相对于固定坐标系表达式,用旋转矩阵1607493945(1)对其作旋转变换即可   微信图片_20201209140607  

雅克比

  雅克比矩阵是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式,事实上,在函数都连续可微(即偏导数都连续)的前提之下,它就是函数组的微分形式下的系数矩阵(即雅可比矩阵)的行列式   在这里表示的是速度的映射,是一个时变线性映射1607494003(1)   在机器人学中,通常使用雅可比将关节速度与操作臂末端的笛卡儿速度联系起来:1607494038(1)   其中Θ 为操作部关节角矢量,v 是笛卡尔速度矢量,对于6关节机器人,雅克比矩阵是6x6阶矩阵,Θ 是6x1维额,0 v 也是6x1维,由一个3x1维线速度矢量和一个3x1维角速度矢量组合起来的   微信图片_20201209140842   根据   微信图片_20201209140908可以得到雅克比矩阵:微信图片_20201209140937   微信图片_20201209141008  

力域中的雅克比

  在多维空间中,功是一个力或者力矩矢量与位移矢量的点积,利用虚功原理可知:   微信图片_20201209141039   1607494269(1)   由上式可知,雅克比的转置将作用在手臂上的笛卡尔力映射成了等效关节力矩,当得到相对于坐标系{0}的雅克比矩阵后,可有对坐标系{0}中的力矢量进行变换:在这里插入图片描述   当雅克比矩阵不满秩时,同位置域中的奇异性相同,存在某些特定的方向,末端执行器在这些方向上不能施加期望静态力,在奇异位置,末端笛卡尔施加的力在某些方向上增大或者减小,与所求的关节空间驱动力的值无关  

matlab代码

 
J = robot.jacob0(q)  %jacob0()求解的是将关节速度映射到世界坐标系中的末端执行器空间速度
Jn = jaconb(q);%末端执行器在自身空间内的速度