11. 机器人正运动学—姿态描述之四元数

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2020年12月19日 09时16分

目录

1. 引言

2. 四元数转旋转矩阵

3. 已知旋转矩阵求四元数

3.1 先求w

3.2 先求x

3.3 先求y

3.4 先求z

4. 四元数与旋转矩阵转换的C++实现

4. 总结

 


1. 引言

 

上一篇文章我们主要介绍了欧拉角与旋转矩阵之间的关系,这篇文章介绍旋转矩阵和四元数之间的关系。关于四元数的定义和工作原理这里就不详细介绍了,给大家推荐一篇文章Understanding Quaternions以及它的中文翻译版理解四元数。我认为这篇文章写得非常透彻,相信不管是谁再去写关于四元数原理的文章都无出其右了。

 

2. 四元数转旋转矩阵

 

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3. 已知旋转矩阵求四元数

 

关于旋转矩阵转四元数有一个问题曾经困扰了我很久,就是关于开方的问题,大家都了解开方其实是有正负两个解的,为什么忽略一个解呢?不只是在这里,在很多其他地方,特别是后面会讲到的机器人逆解问题,也有类似的情况出现。为了避免大家踩坑,我们先把这个坑填上。先给一个命题:四元数和它的相反四元数描述相同的旋转。这是一个真命题,简单证明一下,我们知道四元数对点进行变换的公式如下:

 

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对于归一化四元数q,它的逆是q^{-1}(其实对于归一化四元数,它的逆就是它的共轭),那么四元数-q的逆呢?很显然是-q^{-1},如果让四元数-q作用于同一个点p呢:

 

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负负得正,因此-qq作用效果是一样的。

 

接下来回归正题,旋转矩阵怎么求四元数呢,我们还是要从前面得到的旋转矩阵出发来进行推导,在这个过程中不要忘记我们讨论旋转对应的四元数始终是归一化的,即元素平方和为1。

 

需要注意的是,我们求解四元数有四种途径,从数学上讲他们的行为是一样的,除了在表达式奇异的位置(所谓表达式奇异在这里是指分母为0),但是从数值分析的角度上考虑,当分母太小时,计算结果对舍入误差非常敏感,因此需要尽量减小舍入误差的影响,所以才会根据实际情况选择一种解法来求四元数。接下来我们通过以下旋转矩阵求四元数:

 

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3.1 先求w

 

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接下来踩一个坑,求w时有一个开方运算,为什么不取负值?你可能也看到了,如果w取负值,相应的xyz的求解分母都有w,他们也会取负值,所以得到的四元数就是我们在第三节开头提到的负四元数,它和我们公式得到的四元数描述相同的旋转,所以我们取w为正的一组解,后面三种情况也相同。

 

3.2 先求x

 

在3.1中如果我们求出的w过小,为了避免解的不稳定,需要采用其他的求解方法,我们可以从对角线元素中先求xy或者z。具体先求哪一个呢?我们当然希望先求大的那一个,因为你会看到,通过对角线元素求出的那个值始终是作为另外三个等式的分母,这个值越大越不容易受到舍入误差的影响。

 

具体的比较方法就是比较三个对角线元素哪个大,如果r_{11}最大,说明x相对来说绝对值最大,为什么这么说呢?大概提一下:

 

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3.3 先求y

 

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3.4 先求z

 

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4. 四元数与旋转矩阵转换的C++实现

 

代码是算法的载体,我始终觉得不写烂代码是算法工程师的基本素养,接下来我们把旋转矩阵与四元数的变换关系用C++实现一遍。

 

先说从四元数转旋转矩阵,这个过程是很直接的,我们直接把R对应的旋转矩阵写入即可。头文件中的描述如下:

 

/**
 * @brief This class is used to represent rotation in 3d space.
 * */
class Rotation {
public:
  Rotation();
  /**
   * @brief Construct
   * @param[in] Xx \ref data[0]
   * @param[in] Yx \ref data[1]
   * @param[in] Zx \ref data[2]
   * @param[in] Xy \ref data[3]
   * @param[in] Yy \ref data[4]
   * @param[in] Zy \ref data[5]
   * @param[in] Xz \ref data[6]
   * @param[in] Yz \ref data[7]
   * @param[in] Zz \ref data[8]
  */
  Rotation(double Xx, double Yx, double Zx, double Xy, double Yy, double Zy,
           double Xz, double Yz, double Zz);
  /**
   * @brief Convert quaternion to Rotation object.
   * q=[w,(x,y,z)], w is the scalar, (x,y,z)is the direction vector.
   * @param[in] x X of the quaternion
   * @param[in] y Y of the quaternion
   * @param[in] z Z of the quaternion
   * @param[in] w W of the quaternion
  */
  static Rotation quaternion(double x, double y, double z, double w);
  /**
   * @brief Get quaternion from the Rotation.
   * @param[in] x Reference to quaternion x
   * @param[in] y Reference to quaternion y
   * @param[in] z Reference to quaternion z
   * @param[in] w Reference to quaternion w
  */
  void getQuaternion(double &x, double &y, double &z, double &w) const;
  /**
   * @brief data of the rotation matrix
   * @note the rotation matrix is defined as:
   * [data[0], data[1], data[2];
   *  data[3], data[4], data[5];
   *  data[6], data[7], data[8]]
   * */
  double data[9];
};

 

在头文件中我们定义了一个数组来保存旋转矩阵的9个元素。四元数转旋转矩阵的代码如下:

 

Rotation Rotation::quaternion(double x, double y, double z, double w) {
  Rotation r;
  r.data[0] = 1 - 2 * y * y - 2 * z * z;
  r.data[1] = 2 * (x * y - w * z);
  r.data[2] = 2 * (x * z + w * y);
  r.data[3] = 2 * (x * y + w * z);
  r.data[4] = 1 - 2 * x * x - 2 * z * z;
  r.data[5] = 2 * (y * z - w * x);
  r.data[6] = 2 * (x * z - w * y);
  r.data[7] = 2 * (y * z + w * x);
  r.data[8] = 1 - 2 * x * x - 2 * y * y;
 
  return r;
}

 

旋转矩阵转四元数的代码如下:

 

void Rotation::getQuaternion(double &x, double &y, double &z, double &w) const {
  double epsilon = 1E-12;
  double r11 = data[0];
  double r12 = data[1];
  double r13 = data[2];
  double r21 = data[3];
  double r22 = data[4];
  double r23 = data[5];
  double r31 = data[6];
  double r32 = data[7];
  double r33 = data[8];
  w = sqrt(1.0f + r11 + r22 + r33) / 2.0f;
  if (fabs(w) > epsilon) {
    // compute w first.
    x = (r32 - r23) / (4 * w);
    y = (r13 - r31) / (4 * w);
    z = (r21 - r12) / (4 * w);
  } else {
    if (r11 >= r22 && r11 >= r33) {
      // compute x first
      x = sqrt(1.0f + r11 - r22 - r33) / 2.0f;
      w = (r32 - r23) / (4 * x);
      y = (r21 + r12) / (4 * x);
      z = (r31 + r13) / (4 * x);
    } else if (r22 >= r11 && r22 >= r33) {
      // compute y first
      y = sqrt(1.0f - r11 + r22 - r33) / 2.0f;
      w = (r13 - r31) / (4 * y);
      x = (r21 + r12) / (4 * y);
      z = (r23 + r32) / (4 * y);
    } else {
      // compute z first
      z = sqrt(1.0f - r11 - r22 + r33) / 2.0f;
      w = (r21 - r12) / (4 * z);
      x = (r13 + r31) / (4 * z);
      y = (r23 + r32) / (4 * z);
    }
  }
}

 

原理讲清楚之后,代码其实十分简单,就是把公式套用一遍,这里就不过多介绍了,旋转矩阵与四元数的转换相关C++源代码我已经上传到github: https://github.com/hitgavin/rosws/tree/master/src/frames,感兴趣可以参考一下。

 

4. 总结

 

这篇文章主要介绍了旋转矩阵与四元数之间的关系,下一篇文章我们将介绍姿态描述的另一种方法:轴角/旋转向量。由于个人能力有限,所述内容难免存在疏漏,欢迎指出,欢迎讨论。

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