Matlab 仿真——单自由度倒立摆(3)PID控制器设计

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2021年1月21日 09时24分

文章目录

 

    • 0. 受控对象与设计要求
      • 0.1 受控对象
      • 0.2 设计要求
    • 1. 控制系统结构
    • 2. PID控制器设计
    • 3. 那小车呢?
    • 4. 几个问题
    • 5. 参考

 

0. 受控对象与设计要求

 

这里列出上一篇文章的结果

 

0.1 受控对象

 

1610601509(1)

 

其中:

 

1610601536(1)

 

0.2 设计要求

 

对于倒立摆,当小车受到1Nsec的冲激响应的时候:

 

  1. θ的稳定时间 < 5s
  2. |θ-θ0| < 0.05 radians

 

对于整个系统,当小车收到0.2m的阶跃信号的时候:

 

  1. x 与 θ 的稳定时间 < 5s
  2. x 的上升时间 < 0.5s
  3. |θ-θ0| < 0.05 radians (也就是20°)
  4. 对于x和θ来说,稳态误差 < 2%

 

1. 控制系统结构

 

微信图片_20210114131924

 

上图是我们常用的控制器结构。但是因为这里我们希望倒立摆尽可能地抵抗干扰F,从而保持平衡在垂直位置,系统的输入为零。这种0输入,抵抗干扰的控制问题我们一般统称为 Regulator problem。通过简单的变形,我们得到新的控制系统框图:

 

微信图片_20210114131936

 

该系统的转换方程为:

 

1610601600(1)

 

在开始设计PID控制器之前,我们先在Matlab里面定义好我们的受控对象

 

M = 0.5;
m = 0.2;
b = 0.1;
I = 0.006;
g = 9.8;
l = 0.3;
q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2;
s = tf('s');
P_pend = (m*l*s/q)/(s^3 + (b*(I + m*l^2))*s^2/q - ((M + m)*m*g*l)*s/q - b*m*g*l/q);

 

2. PID控制器设计

 

通过观察控制系统框图,我们发现控制器在反馈线上,因此我们可以用Matlab自带的feedback函数来组成带有PID控制的新系统(这里我们先随机定三个PID参数):

 

Kp = 1;
Ki = 1;
Kd = 1;
C = pid(Kp,Ki,Kd);
T = feedback(P_pend,C);

 

干扰F在新系统里面变成了输入,现在我们看一下新系统受到冲激干扰时的响应:

 

t=0:0.01:10;
impulse(T,t)
title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 1, Ki = 1, Kd = 1'});

 

输出结果

 

微信图片_20210114132116

 

系统依旧不收敛,我们尝试增大P参数

 

Kp = 100;
Ki = 1;
Kd = 1;
C = pid(Kp,Ki,Kd);
T = feedback(P_pend,C);
t=0:0.01:10;
impulse(T,t)
axis([0, 2.5, -0.2, 0.2]);
title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 1'});

 

输出结果

 

微信图片_20210114132140

 

系统稳定了,有点震荡。对比我们的设计要求,稳态误差和稳定时间都满足了要求。但是超调很高,超出了0.05弧度的限制。对付超调我们可以通过适当增大D参数来实现。经过几轮尝试,我们最终确定Kp=100,Ki=1,Kd=20,新的输出:

 

微信图片_20210114132153

 

此时,我们设计的PID控制器已经满足所有设计要求。

 

3. 那小车呢?

 

上述讨论中系统框图其实是不完整的,因为该系统是单输入双输出系统。而我们并没有考虑小车的位置,一个完整的系统框图其实如下:

 

微信图片_20210114132210

 

重新整理一下框图得到;

 

微信图片_20210114132227

 

因此我们可以得到加了PID控制器后的新系统中小车位置相对于扰动F的转换方程:

 

P_cart = (((I+m*l^2)/q)*s^2 - (m*g*l/q))/(s^4 + (b*(I + m*l^2))*s^3/q - ((M + m)*m*g*l)*s^2/q - b*m*g*l*s/q);
T2 = feedback(1,P_pend*C)*P_cart;
t = 0:0.01:5;
impulse(T2, t);
title({'Response of Cart Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 20'});

 

输出:

 

微信图片_20210114132304

 

小车几乎以恒定速度往负方向运动,可见虽然我们控制好了倒立摆的角度,但是小车的位置不收敛,所以尽管理论上可以控制好倒立摆,但实际情况下我们不可能有一个无限长的通道供小车一直运动。

 

4. 几个问题

 

  1. 这里我们的干扰是施加在小车上的,那万一干扰施加在倒立摆上面呢?要怎么确定新的模型框图?
  2. 动力学方程里面我们控制的是小车受到的力F,但实际上我们方便控制的是小车的位置X,或者往一个方向的速度加速度,这种情况咋办?

 

5. 参考

 

https://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=InvertedPendulum&section=ControlPID

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