【四足机器人那些事】二维运动学建模

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2021年2月20日 14时49分

一、平面运动学建模

本篇将会对四足机器人的腿部进行数学建模,求解器正逆运动学解,包含详细公式推导与计算

不考虑横向髋关节运动时,四足机器人的腿部可以简化成二连杆机构

 

1、几何建模

【四足机器人那些事】二维运动学建模插图

 

我们将位置点P摆到第一象限,以便符合我们的直觉:

 

【四足机器人那些事】二维运动学建模插图(1)

2、运动学正解

 

如果已知θ1,θ2,可以通过下式求P[x,y]位置:

 

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如果不明白上面两条公式如何来的,画一条辅助线就能够明白了,如下图:

 

【四足机器人那些事】二维运动学建模插图(3)

3、逆解

已知P[x,y]位置,求θ1,θ2, 我们用代数的方法求逆解:

首先两边平方相加:

 

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将表达式展开,并写成更简洁的形式,其中cosθ1=c1, cosθ2=c2以此类推,得到:

 

12

 

根据和差公式:

 

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最终得到:

 

 

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或者直接利用python对表达式进行化简:

 

L1 = symbols('L1')
L2 = symbols('L2')
b = symbols('b')
a = symbols('a')

x = - L1 * sin(a) - L2 * sin(a - b)
y = - L1 * cos(a) - L2 * cos(a - b)

temp = x**2 + y ** 2
result = simplify(temp)
print('x**2 + y ** 2 = ', result)

 

我们能够得到同样结果:

 

x**2 + y ** 2 = L1**2 + 2*L1*L2*cos(b) + L2**2

求得

 

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这里在求解时需要注意x,y值,验证其是否超过腿部动作空间。接下来我们通过正解来求θ1,先对公式进行以下变换:

 

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其中

 

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再对k1,k2进行变量替换:

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其中r=(k12+k22)0.5,γ = atan2(k_2,k_1),同样,我们画个图方便理解,k1,k2相当于坐标轴上的点P,γ是r与x轴的夹角。

 

【四足机器人那些事】二维运动学建模插图(12)

代入正解方程:

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最终化简成:

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以上求出的θ1是与x轴正半轴的夹角,需要根据机器人的腿部初始角度进行一定变换,例如图中这样腿部初始角度是与地面垂直的,θ1 = θ1+90°,θ1是与y轴负半轴的夹角,如图所示:

 

在这里插入图片描述

 

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