【机器人学】机器人开源项目KDL源码学习:(4)机械臂逆动力学的牛顿欧拉算法

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5天前

机械臂的逆动力学问题可以认为是:已知机械臂各个连杆的关节的运动(关节位移、关节速度和关节加速度),求产生这个加速度响应所需要的力/力矩。KDL提供了两个求解逆动力学的求解器,其中一个是牛顿欧拉法,这个方法是最简单和高效的方法。

 

牛顿欧拉法算法可以分为三个步骤: step1:计算每个连杆质心的速度和加速度; step2:计算产生这些加速度所需要的合力; step3:计算其它连杆通过关节对每个连杆施加的力。

 

KDL中的牛顿欧拉法的代码是基于文献《Rigid Body Dynamics Algorithms》写的,这本书中使用了spatial vector的概念,spatial vector将3维的刚体的线性运动(力)和3维的旋转运动(力)组合到一起形成6维的,这样处理会使代码便于阅读(关于Spatial Vector可以看另外一篇博客-KDL的精髓)。

 

下表为KDL中逆动力学的伪代码(这个表也是从《Rigid Body Dynamics Algorithms》截的图,KDL的代码和这些公式不是完全对应的,要完全理解KDL的思想需要把这本书过一遍)。

 

 


牛顿欧拉法的伪代码
图1 牛顿欧拉法的伪代码
 

 

Basic Equations部分表示各个连杆的速度 vivi、加速度 aiai、合力 fiBfiB 和力矩 ττ 的求解公式,这些参数不参考任何特定的坐标系。
Equations in Body Coordinates部分表示各个连杆的参数的参考坐标系的是本体坐标系。
Algorithm部分的伪代码对应就是KDL中的逆运动学代码(src/chainidsolver_recursive_newton_euler.cpp),如下所示:

 

        int ChainIdSolver_RNE::CartToJnt(const JntArray &q, const JntArray &q_dot, const JntArray &q_dotdot, const Wrenches& f_ext,JntArray &torques)
    {
        if(q.rows()!=nj || q_dot.rows()!=nj || q_dotdot.rows()!=nj || torques.rows()!=nj || f_ext.size()!=ns)
            return (error = E_SIZE_MISMATCH);
        unsigned int j=0;

        for(unsigned int i=0;i<ns;i++){
            double q_,qdot_,qdotdot_;
            if(chain.getSegment(i).getJoint().getType()!=Joint::None){
                q_=q(j);
                qdot_=q_dot(j);
                qdotdot_=q_dotdot(j);
                j++;
            }else
                q_=qdot_=qdotdot_=0.0;

            X[i]=chain.getSegment(i).pose(q_);
            Twist vj=X[i].M.Inverse(chain.getSegment(i).twist(q_,qdot_));
            S[i]=X[i].M.Inverse(chain.getSegment(i).twist(q_,1.0));

            if(i==0){
                v[i]=vj;
                a[i]=X[i].Inverse(ag)+S[i]*qdotdot_+v[i]*vj;
            }else{
                v[i]=X[i].Inverse(v[i-1])+vj;
                a[i]=X[i].Inverse(a[i-1])+S[i]*qdotdot_+v[i]*vj;
            }

            RigidBodyInertia Ii=chain.getSegment(i).getInertia();
            f[i]=Ii*a[i]+v[i]*(Ii*v[i])-f_ext[i];

        }

        j=nj-1;
        for(int i=ns-1;i>=0;i--){
            if(chain.getSegment(i).getJoint().getType()!=Joint::None)
                torques(j--)=dot(S[i],f[i]);
            if(i!=0)
                f[i-1]=f[i-1]+X[i]*f[i];
        }
    return (error = E_NOERROR);
    }

 

在阅读代码的时候,大家比较关心的可能是代码段与公式的对应关系,由于KDL的代码非常简短(原因是使用了Spatial Vector),所以这里把关键代码与文献中的公式对应起来,便于阅读代码):

 

X[i]=chain.getSegment(i).pose(q_);

 

求解转换矩阵QQ截图20210220123249,表示父连杆坐标系向子连杆坐标系的坐标变换。

 

vj=X[i].M.Inverse(chain.getSegment(i).twist(q_,qdot_));

 

求解关节引起的连杆速度vJ,它的意义是求出连杆的速度后,再左乘一个转置矩阵,将速度的参考坐标系变换到本体上的坐标系,这与上图中的伪代码的公式(vJi=siqi)不一样。

 

v[i]=X[i].Inverse(v[i-1])+vj;

 

求解连杆末端的速度QQ截图20210220123426,它的参考坐标系为与本体固连的坐标系。

 

a[i]=X[i].Inverse(a[i-1])+S[i]*qdotdot_+v[i]*vj;

 

这行代码是求解连杆的加速度QQ截图20210220123522

 

            RigidBodyInertia Ii=chain.getSegment(i).getInertia();
            f[i]=Ii*a[i]+v[i]*(Ii*v[i])-f_ext[i];

 

获取机械臂的动力学参数(质量、惯性张量、连杆坐标系到连杆质心偏移)、f[i]求解父连杆通过关节施加给连杆的力。代码中的运算符 * 是KDL中自定义的运算符,可见另一篇博客-KDL的精髓。

 

torques(j--)=dot(S[i],f[i]);

 

这行代码求解关节力或力矩QQ截图20210220123608,至此,各个关节的力或力矩均会被求出,算法结束。
参考文献:

 

[1] 《Rigid Body Dynamics Algorithms》. Roy Featherstone, 2008

 

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