一、前言

前述《详谈麦克纳姆轮（二）》介绍了麦克纳姆轮在实际运用中如何安装、底盘如何设计的内容，本文主要介绍麦克纳姆轮在运动控制过程中，如何进行运动学分析。

二、运动学分析

运动学分析以O-长方形的安装方式为例[2]，四个轮子的着地点形成一个矩形。正运动学模型将得到一系列公式，让我们可以通过四个轮子的速度，计算出底盘的运动状态；而逆运动学模型得到的公式则是可以根据底盘的运动状态解算出四个轮子的速度。

运动学分析的步骤如下：

①首先将底盘的运动用三个独立的变量进行描述；

底盘的运动可以分解为平动速度vt和旋转速度w，其中平动速度可以分解为X轴平动、Y轴平动，因此可以用三个运动变量表示，且这三个变量之间相互独立，如图1所示。

图1 底盘运动分解量

图中， Vtx表示底盘沿 X 轴运动的速度，正方向为右；

Vty表示底盘沿 Y 轴运动的速度，即前后方向，正方向为前；

w 表示底盘绕 yaw 轴自转的角速度，正方向为逆时针方向。

以上三个量一般都视为四个轮子的几何中心（矩形的对角线交点）的速度。

② 用上述分解的三个变量表示出每个轮子在轴心位置处的速度；

定义：

r：由几何中心指向轮子轴心的矢量；

v：轮子轴心的运动速度矢量；

Vr：轮子轴心沿切线方向的速度分量；

则由图2，主轮的速度方向为蓝色箭头V，vr为中心连线的切线方向，

     

图2  轮子轴心位置运动分解图

可知，主轮的总速度v等于底盘的速度矢量与切线方向的速度矢量之和，即

分别计算 X、Y 轴的分量为：

式中a为沿水平方向分量Rx，b为沿竖直方向的分量Ry，其他三个轮子轴心的速度同理可以计算得出。

图3 其他轮子速度分解图

3 由轴心速度计算单个轮子与地面接触的辊子的速度；

根据轮子轴心的速度v，可以分解出沿辊子方向vt和垂直于辊子方向的速度vn，如图4所示

图4 速度分解图

其中vn用于让辊子空转，可以忽略,则沿轴线的速度vt可得：

4. 由辊子速度计算出单个轮子的真实转速，从而给定电机的转速。

由上述辊子的速度，如图5所示

图5  速度分解示意图

可计算出轮子转速为：

 

综上，当给定底盘的移动状态时，可通过下式分别计算得出各个轮子的转速：

三、运动实现

1 前后运动

当所有的轮毂都按照顺时针或者是逆时针旋转时，每个轮子运动趋势如图6，即每对平行的轮子都可以抵消另一个轮子所带来的横向移动趋势，且四个轮子都将具有同时前进或者是后退的运动趋势，从而带动机体前进或者是后退。

图6 前后运动示意图[3]

2 左右平移

当相同旋向的麦克纳姆轮采取一样的旋转方向，不同旋向的麦克纳姆轮采取不一样的旋转方向，如图7，则运动分解之后可以发现每对平行不同旋向的麦克纳姆轮都可以抵消另一个轮子所带来的向前或者是后退的运动趋势，所留下的只有四个轮子同时具有的向右或者是向左平移的趋势。

图7 左右移动运动示意图[3]

3 斜向运动

当只有一对相同旋向的麦克纳姆轮以相同的旋转方向工作时，如图8，这对麦克纳姆轮拥有相同方向的运动趋势，且这种运动方向是斜向运动，因此整个机体也做斜向运动。

图8 斜向运动示意图[3]

4  转弯

当不同旋向并且位于机体一侧的麦克纳姆轮进行相同方向的的旋转，由于运动的分解与合成，先只观察共同的前进或者是后退的运动趋势，即机体一侧获得了前进或者是后退的运动趋势，而另一侧并不具有这样的运动趋势。

然后再看横向运动，前轮与后轮的横向运动趋势是相反的。以图9为例，此时前轮有向右的运动趋势，而后轮具有向左运动趋势，从而带动机体转弯。

图9 转弯运动示意图

5  掉头

当位于机体同一侧的麦克纳姆轮进行相同方向的旋转，且位于不同一侧的麦克纳姆轮进行另一方向的旋转时，按照一下方式对于四个麦克纳姆轮进行编号。如图10，AB可以相互抵消各自带来的前进或者是后退的运动分量，而CD也可以相互抵消各自带来的前进或者是后退的速度分量，使上半区获得相同的横向运动方向，下半区也获得相同的横向运动分量，且两个分量速度相反，从而使得机体绕中心旋转，从而达到掉头的目的。

图10 原地旋转掉头运动示意图

6  调转后轴

当前部分的两个麦克纳姆轮进行不同方向的旋转时，由于运动的分解与合成，先只观察共同的向左或者是向右的运动趋势，即机体上部分获得了前进或者是后退的运动趋势，而下半区并不具有这样的运动趋势。然后再看纵向运动，前轮与后轮的纵向运动趋势是相反的。以图11为例，此时左轮有向前的运动趋势，而右轮具有向后运动趋势，从而带动机体转弯。

图11 调转后轴运动示意图

参考文献

【1】https://blog.csdn.net/zhaoyuaiweide/article/details/75560257

【2】https://zhuanlan.zhihu.com/p/20282234?utm_source=qq&utm_medium=social

【3】https://mp.weixin.qq.com/s/Q2ncZW6oarpijpWTYsXfrA