反向传播算法（Backpropagation Algorithm，BP算法）是深度学习的重要思想基础

目录

一、BP算法的推导

1、前向传播的计算

第一层隐藏层的计算

第二层隐藏层的计算

输出层计算

2、反向传播计算

计算偏导数

二、实际数据代入推导BP算法

1、前向传播计算

第一层隐藏层的计算

第二层隐藏层的计算

输出层计算

2、误差反向传播

输出层误差计算

第二层隐藏层误差计算

第一层隐藏层误差计算

3、更新参数

其实，大概意思就是在输入和输出之间构造神经网络（像人的大脑神经网络一样），当然这个神经网络里面会有很多的神经节点和节点之间相连的边（就想神经元由前到后相连）。然后，这个神经网络作为一个计算的网络，里面会有一些参数，要是参数选的好的话，那么这个模型就可以拿去用了，比如说，看到一张狗的照片，就知道这个是狗了。而反向传播算法就是从结果出发一步步去约束其中的参数，然后使得参数达到最优的状态。

看一看神经元，这里的：

a1、a2、a3指的是输入

w1、w2、w3指的是权重（对应输入的）

b 表示偏置（这里没有呢）

f 表示激活函数（你可以想成是平时数学课上的函数，一般都是比较简单的函数，表现出输入和输出的关系）

z 指的是输出

一、BP算法的推导

这个是一个简单的三层神经网络结构（两个隐藏层，一个输出层）

比如我们来解决一个二分类问题，给一个样本输入，通过前向运算得到输出

输出值域为（0，1），输出的结果越靠近0，就代表样本是0类的可能性越大，反之，1类的可能性越大

1、前向传播的计算

基本上都是矩阵运算

• 第一层隐藏层的计算

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• 第二层隐藏层的计算
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• 输出层计算
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• 2、反向传播计算
  假设我们使用随机梯度下降的方式来训练神经网络的参数：

  损失函数（loss function）或代价函数（cost function），通常作为学习准则与优化问题相联系，即通过最小化损失函数求解和评估模

  型。定义为，其中 y 定义为该样本的真实类标，而  是模型的输出。

  这里有一些损失函数，我们一般用的是第二个平方损失函数：

  
  

• 当损失函数的值为0时，那么表示模型参数训练的炒鸡好的！因为没有损失了。

  使用梯度下降法进行参数的学习，必须计算出损失函数关于神经网络中各层参数（权重w和偏置b）的偏导数。

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• 计算偏导数

BP算法基本就是这些

二、实际数据代入推导BP算法

我们对上述的神经网络代值进行计算验证，所有的参数的初始值如下:

注意：这里面的所有的权值w和所有的偏置b的具体的值都是初始值，当然也可以换成其他数字

1、前向传播计算

• 第一层隐藏层的计算

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• 第二层隐藏层的计算
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• 输出层计算

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• 2、误差反向传播

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• 输出层误差计算
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• 第二层隐藏层误差计算
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• 第一层隐藏层误差计算
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• 3、更新参数

  我们已经计算出每一层的误差了，现在我们要利用每一层的误差和梯度来更新每一层的参数

  权重w和偏置b的更新公式如下：

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• 一般来说，权重w的更新会在前面加上一个正则化项来避免过拟合，这里为了简化运算，我们省去正则化项。

  正则化：必须有一种自动的东西来告诉我们哪种程度将最适合所提供的数据，同时告诉我们需要把那些特征的影响降低至最低，以获得最好的预测。

  是学习率：为了能够使得梯度下降法有较好的性能，我们需要把学习率的值设定在合适的范围内。学习率决定了参数移动到最优值的速度快慢。如果学习率过大，很可能会越过最优值；反而如果学习率过小，优化的效率可能过低，长时间算法无法收敛。所以学习率对于算法性能的表现至关重要。

  在每次迭代中去调整学习率的值是另一种很好的学习率自适应方法。此类方法的基本思路是当你离最优值越远，你需要朝最优值移动的就越多，即学习率就应该越大；反之亦反。我们这里设置为0.1。

  每一层的参数更新的计算方法都是一样的，这里只给出第一层隐藏层的参数更新：
  

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  对原文进行了修正和添加！