现代机器人：力学，规划，控制（chapter4）正运动学

Mr.Bo

分类：机器人学

发布时间 2021.08.10阅读数 5540 评论数 0

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现代机器人：力学，规划，控制（chapter1） - Mr.Bo的文章 --- https://www.guyuehome.com/author/60fa658fe2861

写在开头：前面几帖的基础知识还是很重要，建议先去看看第三章的几帖。

本章进入正儿八经的机器人运动问题，前面几章的基础知识比较重要

首先介绍什么是机器人正运动学：

机器人的正运动学是指根据关节坐标θ计算其末端执行器坐标系的位置和姿态。

下图是一个3R平面开链的正运动学问题：

各连杆的长度分别为 $L_1,L_2,L_3$ ,定系 ${\{0}\}$ 在基座位置，动系 ${\{4}\}$ 位于第三根连杆的末端，那么末端执行器的坐标可以表示为：

使用上面的描述方法显然连杆和关节数变多时会十分复杂，因此我们在连杆上附加坐标系，例如图中的 ${\{1}\}，{\{2}\}，{\{3}\}$ ，此时这个开链机械臂的正运动学方程就可以用转换矩阵T来描述：

$\\T_{04}=T_{01}T_{12}T_{23}T_{34}$ 式中：

$\\ T_{01}=\begin{bmatrix} cos\theta_1&-sin\theta_1&0&0\\ sin\theta_1&cos\theta_1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \ T_{12}=\begin{bmatrix} cos\theta_2&-sin\theta_2&0&L_1\\ sin\theta_2&cos\theta_2&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$

$\\ T_{23}=\begin{bmatrix} cos\theta_3&-sin\theta_3&0&L_2\\ sin\theta_3&cos\theta_3&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \ T_{34}=\begin{bmatrix} 1&0&0&L_3\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$

除此之外，还有另外一种表示方法：

如果所有连杆的角度均为0，那么坐标系4的位置就可以表示为：

$\\M=\begin{bmatrix} 1&0&0&L_1+L_2+L_3\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$

再假设每一个关节都是0螺距的screw axis，保持 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 为0，那么对于关节3现对于定系0的运动就用下面的表示来描述：

将上式写成矩阵，利用我们上一章学过的知识，就为：

那么连杆3转过任意角度 $\theta_3$ 就有：

$\\T_{04}=e^{[S_3]\theta_3}M（for\ \theta_1=\theta_2=0）$

向前类推就有：

这样正运动学就表示为矩阵指数的乘积。

那么用转换矩阵相乘表示末端执行器运动的就被称为Denavit–Hartenberg parameters，也就是D–H parameters，用矩阵指数乘积表示的，就被称为productof exponentials (PoE) formula。

其实写到这里本章的主线已经相当清晰，D-H parameters会在附录c中讨论，接下来就是对PoE formula的两种表示方式加以讨论，得到泛化的用于所有机器人的描述，同时也要对机器人的描述提出要求，这样方便结论的使用，同时有一个通用的框架。

要使用PoE formula，只需要规定好定系s的位置，末端执行器的动系为b，在所有关节角度为0时的初始位置记为M，这样我们去描述一个n关节机器人的运动时，用 ${\{0}\}$ 来代表定系s， ${\{i}\}，i=1,2,3，.....,n$ 表示构件i在关节i处的动系，同时在末端执行器上也定义一个动系 ${\{n+1}\}$ ，它相对于 ${\{n}\}$ 是固定的，这样可以更好的描述末端执行器的有关量，当然在某些情况下 ${\{n+1}\}$ 和 ${\{n}\}$ 是重合的。