从本篇开始，连续3篇开始介绍跟性能指标（目标函数）有关的轨迹优化问题

先上图：

解释一下三个概念：

（1）镇定：状态x(t)渐近稳定，也就是当t->∞时，x(t)->0

（2）跟踪：状态x(t)的跟踪误差e(t)=z(t)-x(t)或输出y(t)的跟踪误差e(t)=z(t)-y(t)镇定

（3）调节（Regulation）：说到英语，其实在机器学习里这个英语单词被翻译为 正则化，而正则化的目的是为了 “避免过拟合”，通常有L1，L2等方法，其实在最优化里面，调节通常用的是输入的L2

这段主要是参考 西北工业大学 郭建国老师的 《现代控制理论》课程，详见可以看MOOC

我们这边还是先考虑最简单的线性系统

状态调节问题：其实就是 状态镇定 + 调节

输出调节问题：其实就是 输出镇定 + 调节

输出跟踪问题：其实就是 输出跟踪 + 调节

以下主要讨论 线性系统的二次型性能指标的轨迹优化问题

即：系统的动力学是线性系统，轨迹优化的目标函数是二次型性能指标的问题

目标函数的终端指标是二次型，积分指标也是二次型

1. 有限时域线性时变系统状态调节

采用最优控制里面的最大值原理，按照其步骤写出来：

(1)哈密顿函数

(2)正则方程

(3)控制方程

(4)横截条件

根据横截条件，我们可以做一个假设，哈密顿算子与状态满足线性关系，于是：

可以得到一个结论： 矩阵Riccati微分方程，这个方程在最优化问题（最优控制，轨迹优化，最优估计）都扮演着重要的角色

求得Riccati微分方程的解（具体解法可以参考《运动感知》专栏中 《状态估计03. Riccati方程》），进而可以得到最优控制解，于是可以设计出 状态反馈，也就是实现了闭环最优控制，也就是实现了轨迹优化的闭环

2. 无限时域线性定常系统状态调节

考虑无限时域，或者换句话来说，稳态性能，于是不需要考虑终端条件，只需要考虑积分条件

这里可以考虑Raccati微分方程，给定终端时刻，逆时间求解出矩阵P(t)，一个重要的结论是：矩阵P(t)在远离终端时趋近于一个常数矩阵

***系统能控

3. 无限时域线性定常系统状态调节

矩阵P(t)在远离终端时趋近于一个常数矩阵，于是P(t)的导数也为0，而经典的Raccati微分方程变成了Raccati代数方程

4. 有限时域线性时变系统输出调节

与状态调节问题相比，唯一区别在于权值系数矩阵发生了改变

***系统能观测

5. 无限时域线性定常系统输出调节

进一步推广到无限时域线性定常系统的输出调节问题，要求系统能控能观测。

6. 有限时域线性时变系统输出跟踪

而输出跟踪问题，只是将输出项变成输出跟踪误差项，求解过程的极大值原理相似

只不过此时，线性关系已经不是传统意义的比例项，而是比例项 + 偏置项的一次关系

Raccati微分方程没变，只是多了一个补充微分方程，以及补充边界条件

7. 有限时域线性定常系统输出跟踪

除状态和输入项，其他的时变系数均变为常系数

8. 小结

1-7都可以总结为上图的问题

而1-7只是下图的简化

这一篇还存在两个坑：

(1) 矩阵Raccati微分(代数)方程如何求解？

(2) 非线性动力学系统如何求解？

且听以后填坑~~~

Reference

1. 西北工业大学 郭建国 《现代控制理论》