先从一个简单的例子开始吧（滑块模型）

在满足图所示的边界条件，我们可以找到很多可行解，但是我们通常的做法是找到一个“最优解”

为了寻找一个最优解，我们先引入几个概念：

约束：也就是求解优化问题的限制条件，在上述滑块模型中，我们有两个约束条件（系统动力学和状态的边界条件）

可行解：满足上述约束的解，一般可行解是一个很大的区域，我们需要在这个区域里面寻找一个最优解

最优解：寻找可行解中的最优解，通常我们会形式化一个目标函数，上述滑块模型我们的目标函数可以是最小力平方与最小功率

于是，可以为轨迹优化做一个数学上的定义：

带约束条件下的目标函数求解（其实就是一个最优控制问题），有目标函数，有约束条件

既然谈到了最优控制，那么不得不说最优控制的求解：

（1）变分法

（2）极大值定理

（3）动态规划

（4）LQR

（5）...

我们首先采用最简单的变分法来讨论：

目标函数：仅考虑Lagrange项，也就是只有路径积分项

这类问题求解方法可以采用Euler-Lagrange方程，就是上图那个公式（后面再填坑），既然有了这个方法，我们就需要构造Lagrange函数

当然滑块问题的Lagrange函数很简单，也就是加速度平方

将Lagrange函数代入Euler-Lagrange方程，可以得到： [公式] ，这意味着最优轨迹具有三次多项式（最简单是三次多项式，其他满足这个条件的也行）的形式。

然后待定系数，代入边界条件很容易求出最优轨迹。

接下来，我们来得到更一般的结论：

现在的目标函数我们定义为状态及其连续n阶导数的泛函，然后我们也可以写出其Euler-Lagrange方程

为了简化问题，我们构造最简单的Lagrange函数：状态n阶导数的平方

于是，我们根据n的不同，可以定义不同的问题，minjerk应该是最常用的问题呢

模仿上述的求解过程，我们可以得到结论：最简单的minjerk轨迹规划是 五次多项式

至此，我们知道了多项式为啥可以作为轨迹规划（更广泛地说是轨迹优化）的基本算法之一了。

小结：

（1）从最优控制的角度看 轨迹优化 问题

（2）变分法求解轨迹优化问题

（3）基本轨迹优化算法：多项式函数

Reference：

  1. Kelly M. An introduction to trajectory optimization: How to do your own direct collocation[J]. SIAM Review, 2017, 59(4): 849-904
  2. blog.csdn.net/qq_350075