经典控制是基于传递函数(transfer function)这一数学模型进行LTI系统分析和设计的。本篇从卷积(convolution)开始论述，对传递函数的一些重要概念和性质进行回顾。理解传递函数在后续经典控制学习中尤为重要。

关于传递函数以及零极点各自的作用，就目前来讲只需要点到为止。在没有学习频域分析前，多数初学者是记不住这些麻烦的规律的。

本篇主要内容：

• 卷积与LTI系统响应
• 从Laplace变换到传递函数
• 零初始条件
• 传递函数

卷积与LTI系统响应

线性系统是一种可以由线性微分方程描述的系统，实际中的系统或多或少都含有一定的非线性，由此线性系统的假设只能是在一定条件下成立。 LTI系统是一类特殊的线性系统，其继承了线性系统叠加性的特点，也拥有时不变特性，即系统的参数不随时间变化，亦即信号作用时间的前后只影响响应输出的先后而不影响形状。

在求解LTI系统的响应时，利用LTI系统这两条性质，有人想到：求解任意输入 u(t) 对LTI系统的响应，问题可以转化为对 u(t) 分解后的子信号的响应进行求和。我们可以参考微积分的思想，将其分解为无数个短矩阵脉冲，求取每个短脉冲对系统的响应分量，再求和，那便可以近似系统在这段时间内的输出。如果n足够大，误差就能足够小，那么结果就会非常理想。

仔细想了想这部分公式太多，可能大家不愿意看，所以索性删掉了一些公式，这样说：

(这里感谢@这不是我的真名指出未解释积分中的 dτ ）

现假设系统在0时刻的单位短矩形脉冲响应 hΔ(t) 。单位短矩形脉冲宽 Δ ,幅值为 1/Δ 。现在0时刻附近的短矩阵脉冲的幅值为 u(0) ，对系统的脉冲响应就是 Δ·u(0)·hΔ(t) 。这很简单，因为本来 ΔhΔ(t) 是幅值为1的短矩阵脉冲信号造成的响应，现在只是乘上了一个比例。

下一步我们关注第二个短矩阵脉冲，就在第一个的隔壁，形状也一样，但是幅值改变了，我们假设时间间隔为一个 Δ ，那这时候的这个被“往右移动了 Δ ”的短脉冲对系统的响应是Δu(Δ)hΔ(t-Δ)  。因为 hΔ(t) 被延迟了 Δ 秒，所以就变成这样了。

再下一步不用多说了吧，继续延迟，幅值是下一个时刻u的值。那么随着时间积累，我们写成积分形式，注意 

即系统的单位脉冲响应（impulse response），并记 Δ 为 dτ ，就变成了：

这样一个零初始条件的LTI系统的响应就可以由上面这个积分计算得到，这个积分正符合卷积积分（convolution）的定义， y(t) 是 u(t) 和 h(t) 的卷积。

为了求解任意输入对一个LTI系统的响应，我们将输入进行分解，想象其由无数个脉冲函数组成，且我们知道该LTI系统对t=0时的单位脉冲函数的响应,那么其他所有脉冲的响应无非就是在此响应的基础上进行rescale和延迟。如此，从0时刻开始积分到无穷，便有了上面的卷积积分。

需要指出的是，我们默认系统是因果系统，实际的物理系统也都满足这个条件，因此积分的下限也不是从负无穷，而是从0开始。因为0时刻之前输入信号均为0，零初始条件的因果系统在0时刻之前不会有任何响应。我们通常也可以人为指定时间的起点，并假设零点之前是不存在任何信号的，也不会有任何响应，卷积总是为0。

从Laplace变换到传递函数

Laplace变换是重要的数学变换，在经典控制理论中有重要作用。然而其与Fourier变换涉及篇幅较长，且这些对于理解控制的其他概念影响有限，在此讲述核心的理解。

我们先从Fourier变换开始讲起。

正交的概念由向量內积（inner product）而来，若两个向量的內积为0，则向量正交。而一个函数实际上可看成是无穷维的向量，两个连续复变函数f和g的內积在 C[-∞,+∞] 上表现为（注意f与g交换则需要取共轭，內积性质）

由此傅里叶变换由此积分式定义为：

那么代入卷积公式，也可以认为我们在卷积公式两端施加Laplace变换

也就是说对卷积公式两端做Laplace变换后，在频域中的卷积公式就变成了一个简单的频域函数相乘，而不再是求积分了。

显然为了求解频域内LTI系统的响应，我们需要知道 H(s) 和 U(s) 。 H(s) 就是时域中脉冲响应的Laplace变换，我们在此还给它一个新名字：传递函数。也就是说，一个LTI系统的传递函数是其脉冲响应 h(t) 的Laplace变换，同时显然也是系统输出Laplace变换和输入Laplace变换之比，前提是零初始条件。传递函数是经典控制中最重要的系统数学模型，是控制设计和优化的基础。

零初始条件

从线性常微分方程中我们可以轻松得到传递函数，但前提条件也是零初始条件。一般地，非零的初始条件下，我们仍然可以用Laplace变换来求解ODE，但是却不能找到输出与输入的比值以构成传递函数。

如上篇文章所述，LTI系统的全响应分为零状态和零输入响应。传递函数既然要满足零初始条件，那利用传递函数显然只能得到零状态响应，也就是只关心输入对系统输出造成的影响。由此可见传递函数描述了输入与输出之间的关系，而内部状态我们都假设为0了。对于一个LTI系统而言，初始状态并不会影响其本身具有的某些性质，比如稳定性，我们之后会讲到，不管初值在哪里，稳定的LTI系统的解始终会收敛至唯一的平衡点。我们认为传递函数足以能够让我们能够研究一个LTI系统中我们所关心的性质。 [Note1]

从微分方程解的角度来讲，零状态响应的解结构与全响应解结构是一样的，都是通解+特解的组合，只是零状态响应的系数发生了变化。而零输入响应对应了原微分方程的通解部分，不含特解，此时初始条件则不再是零了。零状态响应包含了系统解的完整结构，在经典控制中认为已经足够对系统进行分析了。同样，前提是解的结构没有因为零初始条件恰好发生了改变，即零极点相消导致某个模态消失，这样零状态响应包含的系统信息就不完全了。

从稳态结果来看，零输入响应对应于通解，基本只提供了系统稳定性的信息。如果通解稳定，零状态响应因为包括通解也是稳定的。如果通解发散，则零状态响应也同样会发散。

从瞬态变化来看，通解稳定，则零输入响应会迅速衰减，这点和零状态响应的瞬态很相似，但是由于初始条件的差异，会略有不同，但其衰减速度应该是一样的，因为两部分模态是一样的。通解发散，两者发散的速度也一样。于是改变零输入响应的特点，也同样会改变零响应。

总结而言，我们在分析、设计和改进系统时，考虑零状态响应所对应的传递函数是足够的。

传递函数

Laplace变换的性质和运算技巧以及终值定理等，均可参考教科书[1][2]，基础知识就没必要赘述了。我们以一个三阶ODE来说明问题。

传递函数有两个重要的组成部分，零点与极点。上式分子的零点称之为该传递函数的零点，分母的零点称之为该传递函数的极点。传递函数是表征系统的一种外部描述数学模型，是基于输入与输出的。微分方程是表征系统的内部模型，也可以说完全表征了系统的特点。关于这点我们在稳定性篇章再细说。

下面讲讲极点与零点的基本特点，现在不需要记极点作用和零点作用。没有讲到频域分析前，写太多规律也无法记住。

传递函数的极点是分母多项式的零点。从微分方程中我们可以看出，分母多项式的零点正是ODE的特征方程的根。由此我们得出一个重要结论，极点数值和数量决定了ODE解的模态结构，更进一步地，模态的结构最后影响了系统响应的动态和稳态 [Note2] 。

从微分方程的通解中可以得知，如若极点实部为正数，则响应必会发散，反之极点实部为负数则通解部分最终将衰减为零。但衰减的快慢是由极点的位置所决定的。

显然极点在s平面上离虚轴越远衰减越快，体现在响应上则系统的快速性会极大提升。极点的虚部对应于时域中的三角函数的角频率，对系统的阻尼会产生影响。在系统性能指标相关的篇章中我们再细说这部分。

传递函数的零点的影响，目前只强调零极点相消（Pole-zero cancellation）。

当零点与其中一个极点非常相近时，则该极点产生的影响将被极大地减弱。理想情况下完全一致时，该极点对应的响应分量将在全响应中消失。在微分方程的解中，发生零极点相消的极点前的系数会消失，或者变成一个很小的数，从而让极点对应的模态不能产生影响。这时候思考一个问题，传递函数是否足够表征原来的系统？联系上篇文章中提到的微分方程与LTI系统响应的关系。

关于零点的其他作用，从[2]对二阶系统的研究中可以得知，零点若位于左半平面，与极点距离较远，离虚轴距离很近，则会产生较大的overshoot。如果零点位于右半平面，overshoot会被抑制，甚至出现undershoot，此时系统是非最小相位系统（non-minimum phase system） [Note3 ]。零点如果与虚轴很远，而与极点相近，则这样模态的比重就会下降，从而使得系统获得更低阶系统的响应特性（零极点相消效果显著）。

你是不是看完根本就没记住，然而老胡的书就是这么写的 :)。 我们需要更多的知识再回来分析。

实际系统的传递函数，分子的阶次不应大于分母的阶次，并且大部分系统都是满足分子阶次小于分母的。如果分子分母阶次相同，这意味着，传递函数一定可以写成某个常数+真分数的形式，那么与输入信号的Laplace变换相乘后再做反变换，一定会得到输入信号的直流成分，即输出中会包含输入信号被直接放大或者缩小后的成分。实际系统的零极点必须是实数或者共轭复数，不能单独出现某一个复数，故复数是成对出现的。如果分子的阶次大于分母，那么任何一个常值信号，或者阶跃信号都会使系统响应无限增长，这样的系统现实中是不存在的。[Note4] 。

总结地讲，极点是对应微分方程的特征方程的特征值，影响系统模态组成。零点会对每个模态的大小产生影响，与极点接近时会引起零极点相消，从而减小该极点对应模态的影响。关于零极点的影响在根轨迹设计，以及频率特性与bode图部分会有更加详细的展开。现在零极点对系统的影响还是从微分方程本身的解上来看，在时域中如果看的不够清楚，我们以后在讲频域时会更加深刻地感受到它们的作用。

Note

[1] . 前提是传递函数能够完全表征系统的模态，即没有零极点相消发生时，否则就应该考虑零输入响应。

[2]. 主要影响瞬态的表现。影响稳态是指稳定性。如果模态是不稳定的，那么就不存在稳态了，直接发散。

[3]. 最小相位打算之后专门写一篇，不过不一定在近期。

[4]. 如果还有疑问，这里也许能给你些启发。为什么传递函数分母中s的阶数n必不小于分子中s的阶数m?

Reference

[1] G.F. Franklin, J.D. Powell, A.Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 7th Edition, 2014, Pearson

[2] 胡寿松，自动控制原理（第六版），2013，科学出版社

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