最近“降维打击”一词比较火，其实在机器人规划与控制里面“降维”这个词也是非常的重要，比方说：仿人机器人腿部建模的时候，可以将整个动力学模型简化成一个“线性倒立摆”

反过来地，“升维”一词也是比较重要的，以下简要说说我所知道的“升维”与“降维”

（1）建模：简化模型降维（线性倒立摆，欠驱动模型）与冗余模型升维（七自由度机械臂）

（2）深度学习的自编码器：编码降维与解码升维

（3）Newton力学降维与Lagrange力学升维

对于第三点，推荐大家先看 

 大佬的文章

这一篇把力学中Newton力学，Lagrange力学和Hamilton力学的发展历史讲的很精彩

简单来说，就是我们需要求解一个优化问题，Newton大佬的思想是，增加耦合的约束将未知变量的维度降下来（降维），Lagrange大佬的思想是，复杂耦合的约束太难求解，绕开约束，通过增加Lagrange乘子来求解（升维）

方法的对立面有时候就是问题的更优解

引入了这个话题，那我们不得不介绍三位力学大佬的贡献，以及在 轨迹优化 问题中的应用

1. Lagrange乘子与KKT条件

再谈一下优化问题：四类问题

（1）无约束优化问题

（2）等式约束优化问题

（3）不等式约束优化问题

（4）等式 + 不等式约束优化问题

构造Lagrange乘子：

1. 无约束条件

2. 等式约束条件

3. 不等式约束条件

4. 等式 + 不等式约束条件 (通用KKT条件)

2. Hamilton函数

Lagrange与Hamilton的积分关系：

先这样吧~~（好懒），下一篇正式介绍 硬约束 & 软约束

Reference

1. 《最优控制》课件
2. Lagrange乘子与KKT条件