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0 前言

本文是上次笔记的继续，前序内容请阅读上一篇《机械臂操作控制基础（一）》。

5 多关节的PD控制

多关节机械手系统的控制可以通过为每个关节独立设计的一套PD控制器来完成。虽然对于取放任务来说已经足够了，但这种控制方式对于涉及轨迹跟踪和与环境交互的任务来说，其性能是有限的。为了分析PD控制器的局限性，请考虑下图所示的两个渐开线关节机械手的例子。

该机械手的动力学运动方程为：

与关节1和关节2的行为相对应的两个标量方程为:

在设计该机器人的两个独立的PD控制器时，忽略了两个关节之间的动态耦合，将其作为两个解耦系统来处理，其描述为：

这些方程忽略了作用在关节上的动力，而忽略了连杆惯性的构型依赖性。实际系统是非线性的且高度耦合的，如下图所示。另一个图说明了由n个独立PD系统控制的n-DOF机械臂上的动态扰动。

PD控制稳定性

n-DOF机械手的动力学描述为：

Vgravity表示系统由于重力而产生的自然势能。上式可以写为：

也就是说由一组独立的PD控制器控制的机械手是稳定的，因为这些控制器的作用只是修改机械手的势能，同时提供渐近稳定性所需的阻尼。

关节空间的动力学控制

在提供稳定性的同时，PD控制器的性能受到限制，因为它忽略了动态耦合力。高增益可提供更好的抗干扰能力，但如前所述，控制增益受系统灵活性，时间延迟和采样率的限制。机器人系统的动态解耦和运动控制可以通过使用机械手动力学模型的控制结构来完成。机械手动力学描述为：

基于该模型，动态解耦和控制的控制结构为

表示估计，将这种控制方法应用于机器人，其闭环行为将被描述：

那么闭环系统为：

操作空间控制

操作空间方法的基本思想是通过一个势函数来控制末端执行器，该函数的最小值位于末端执行器目标位置。

施加于系统的控制力为：

这个方程可以写为

，

这样控制系统就可以写为：

渐近稳定的条件为:

带入

，

可以得到：

操作空间动力学

对末端执行器的动力学描述，首先需要选择一组广义坐标X，表示末端执行器的位置和方向，如(x,y,z,α,β,γ)。然后，系统的动能可以表示为广义速度的二次形式

：

其中Mx代表与末端执行器惯性相关的质量矩阵。令F为与广义坐标X对应的广义力的向量。末端执行器运动方程为:

也可以写为:

该方程类似于为关节空间的动力学方程。事实上，关节空间动力学和操作空间动力学是通过简单的关系联系在一起的。首先考虑动能。在关节速度方面，系统的动能为：

其中M是关节空间质量矩阵。根据Kx=Kq：

操作空间动力学控制

末端执行器的动力学由该方程描述

动态解耦和运动控制的控制结构为：