四元数

还记得上篇说的轴角法的两个致命缺陷吗？

忘了建议再回看一眼。

四元数是Hamilton爵士于1843年发现的，据说是他正愁三维向量的乘法运算咋整呢，过了一个桥就灵光乍现，懂了！！！ 为了感谢这个神桥，就把四元数的运算法则刻上了。

四元数刚开始的时候没啥鸟用，还总被嘲笑。直到一百年后应用到量子力学和刚体旋转中，它的巨大意义才体现出来。

我这里不会详细讲解四元数，因为网上的资料已经足够多了，我会在附录中列出来。

我主要讲最必要的关于四元数的基础知识，我的理解，以及用的时候要注意哪些问题。

以下所说的四元数默认是单位四元数，即模为1.

四元数长下面这样，四个数组成，一个实部，三个虚部。

具体的运算规则可参考维基百科。

当我们把四元数整理成一下形式，分为标量和矢量部分，是不是就有一点不一样了？？

在这种形式下，四元数被写成了一个角θ和一个三维向量U的组合形式。

一个轴，一个角，这不就是轴角法的描述方式吗？

是的，轴角法和四元数之间几何意义是相同的，并且转化起来很方便。单位四元数可以忽略实部，这可简化记为一个三维向量，这和轴角法就更像了， 区别就是轴角法是轴*θ， 四元数是轴*sin(θ/2)。

因此可以把四元数认为是轴角法的一个数学工具. 它解决了轴角法两个致命的bug。

Bug1：当角度0的时候，轴角法无法求出轴。

四元数曰：那就把轴定为U×sin（θ/2），角度为0时，轴就为零，这就有解了，就是[1 0 0 0].

Bug2：两次轴角法旋转无法做合成，不同的轴角法无法做差。

四元数曰：三维空间是不可能的，再加一维就解决问题了，升维解bug。因此，把一个三维的问题化成一个四维带一个约束的问题，把一个三维的问题化成一个九维带六个约束的问题，这就分别是四元数法和旋转矩阵法。

四元数是如何计算旋转的合成呢？非常简单，物体先旋转了q1，又旋转了q2，两次旋转的合成就相当于一次旋转了  ，就是四元数的乘法。反过来也成立，  .

就这样，四元数解决了轴角法的两大bug。

接下来看一下那个θ/2，是咋回事，为啥要除2呢。

先给一个公式，一个向量v按照四元数的旋转轴和旋转角旋转得到另一个向量v`.

其中 q* 是 q 的共轭， q*v*q* 就是三个四元数连乘，可以理解为v被 q 和 q* 各旋转了一次。

换句话说，如果我们有q=[cos(θ), sin(θ)u]，那么  v'=q*v*q*，可以看做v沿着u旋转2θ度。旋转后的v′的实部恰好为0，这样虚部的三维向量就是我们要的v′了。

我们就想旋转θ角度，那旋转一次行不行呢？不行，旋转后的v′的实部不为零，一个三维向量转化成了一个四维向量，这多尴尬，你怎么处理呢？这不是我们要的三维向量旋转。

四元数的乘法还是一个四元数，只有一种特例:除非实部为零。

为什么转两次就ok了呢？看下面这经典的图。

上图的三维超平面代表三维世界（i，j，k），三维向量w在三维超平面上，所以第四维度的大小为0，w在四维空间上表示为【0 b c d】.

如果被四元数q旋转一次，w就变成了箭头指向上方的点，这个点是三维超平面上，这时的第四维度的大小不为零了。w在四维空间上表示为【a b c d】，三维向量被转化为四维向量。这就很尴尬了！！！

如果再继续被 q^-1 旋转一次，恰好就又被转化到三维超平面之上了，就是那个w`，第四维度为0，这时的w`就是一个三维向量了，所以虽然被怪怪的旋转了两次，但是至少三维向量还是三维向量，大不了就把最开始的旋转角度除个2嘛，这个θ/2就是这么来的。

我以上讲了四元数法和轴角法的密切联系，以及四元数一点基础知识。

再补充几个单位四元数的基础知识.

1. q^-1=q* 这个不需要理解，记下来就行，推导也不难。
2. q=-q，转轴反了，转角也反了，这用轴角法配合右手法则转一下就知道了,
3. 通常四元数的计算，为防止截断误差产生的影响，要经常归一化，具体的就是保留矢量部分，重新计算标量部分。

实用主义角度来说， 外行人能把四元数这样简略的直观理解，剩下的查一查公式，就足够了 ，就完全不耽误理解性使用了。毕竟我们的目的是使用四元数作为旋转的工具，不是继续优化四元数，因此更深奥的理解是用不上的。

但是，四元数还是非常的神奇，探寻奥秘本身就是一种快乐，会让你更加深入的理解，如果你有精力，我非常推荐参考一下资料。

1 先看3Blue1Brown的视频，非常的直观，新奇，一定要多看几遍。

2 再看这个

中文翻译在这里，

3 如果你还有精力，那就再看看这个73页的文章

https://krasjet.github.io/quaternion/

轴角法/四元数(一个轴一个角)这个派就讲完了，接下来要将欧拉角/旋转矩阵(三个角)这一派了 .

这个系列就快到进展一半了。。。

刚体旋转系列

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