本文主要基于以下参考：

[1] John T. Betts. Survey of Numerical Methods for Trajectory Optimization.

[2] Anil V. Rao. A Survey of Numerical Methods For Optimal Control.

[3] John T. Betts. Practical Methods for Optimal Control and Estimation Using Nonlinear Programming 2nd.

[4] A E. Bryson. Applied Optimal Control.

[5] KIRK. Optimal Control Theory: An Introduction.

[6] Matthew Kelly. An Introduction to Trajectory Optimization: How to Do Your Own Direct Collocation.

第一部分

本部分涉及到的内容为[4]中的3.3节部分，考虑最优控制问题：

此外，考虑控制和状态变量满足等式约束：

类似于上节，对这种约束的处理方法可以将该约束通过拉格朗日乘子 μ(t) 加入到哈密顿函数中，得到如下：

与上节不同的是，这种处理不仅导致了最优控制条件的改变，如下：

还导致了协态方程的变化，具体形式如下：

其余的最优必要条件相同，方程(2)和方程(4)这 m+1 个方程共同确定了 m+1 个 u(t) 和 μ 。因此，以上的必要条件同样确定了一个两点边值问题。

第二部分

本部分涉及到的内容为[4]中的3.4节部分，考虑最优控制问题：

此外，考虑状态变量满足等式约束：

此时式(8)可能有也可能没有显式依赖于控制变量 u ，如果依赖于，则式(8)的作用就类似于式(2)。

由于这两部分内容没有找到合适的最优控制问题，因此不包含具体的代码实现了。