最优控制问题数值方法-间接法/变分法 (10)

UShark

分类：运动控制

发布时间 2021.11.09阅读数 3898 评论数 0

本文主要基于以下参考：

[1] John T. Betts. Survey of Numerical Methods for Trajectory Optimization.

[2] Anil V. Rao. A Survey of Numerical Methods For Optimal Control.

[3] John T. Betts. Practical Methods for Optimal Control and Estimation Using Nonlinear Programming 2nd.

[4] A E. Bryson. Applied Optimal Control.

[5] KIRK. Optimal Control Theory: An Introduction.

[6] Matthew Kelly. An Introduction to Trajectory Optimization: How to Do Your Own Direct Collocation.

最优控制问题数值方法-间接法/变分法 (9

理论部分

本部分涉及到的内容为[4]中的3.6节部分，考虑最优控制问题：

前面介绍的最优控制问题动态方程右端函数由 f 定义且整个过程中不发生变化，本节所要介绍的最优控制问题考虑右端函数变化的情况，典型的例子比如运载火箭一级分离后，动力学方程发生变化等等。

设在时间 t<t1 内：

其中 t1 由下式确定：

在时间 t>t1 内：

其中，式(3)与上节类似，本质上是一个内点约束，因此上节推导得到的必要条件在经过修改后仍然适用：

其中，

代码实现

下面对不连续水流问题进行介绍，上节介绍了水流速度建模为：

并对具体的水流形式

进行了求解，本节考虑下面这种水流问题：

即水流以 h 为分界线，两边的速度不同，这就导致了右端函数 f 的不连续性

在这个问题中，我们寻找从 x=y=0 到达x=ah,y=(1+b)h的最短时间路径。

由于求解这个问题需要用到多点边值问题，我们首先通过多点边值问题来求解前面求解过的一个问题，以便更清晰的演示采用的方法。

下面这个问题在前面第8部分介绍过：

最优控制问题数值方法-间接法/变分法 (8)

最优控制问题(Interior point constraint problem)：

满足边界约束：

内点约束：

之前我们解决这个问题时，采用的方法是解析方法，下面采用bvp来进行求解。

%% solve MBVP

solinit = bvpinit([linspace(0, 0.75) linspace(0.75,1)], [1 -1]);
%solinit.x = [linspace(0, 0.75) linspace(0.75,1)];
%solinit.y = [linspace(1,0.9) linspace(0.9,0.75);linspace(1, -0.5) linspace(1.5, 1)];
tol = 1E-6;
options = bvpset('RelTol',tol,'AbsTol',[tol tol],'Nmax', 2000);
sol = bvp4c(@MBVPOde, @MBVPbc,solinit);

time = sol.x;
state = sol.y(1,:);
costate = sol.y(2,:);
control = -0.5*costate;
%% plotting

% state

figure(1); clf
plot(time, state,'r-', 'LineWidth',2)
legend('state seg1','state seg2','Location','NorthEast')
grid on;

xlabel('Time');ylabel('States')

% costate

figure(2); clf
plot(time, costate,'r-','LineWidth',2)
hold on;
grid on;
xlabel('Time');ylabel('Costates')

% control
figure(3); clf
plot(time, control,'r-', 'LineWidth',2)
hold on;
grid on;

xlabel('Time');ylabel('Control')

function dydt=MBVPOde(t, y, k)
    % y: [x, lambda]
    u = -0.5*y(2);
    dydt = [u; -2*y(1)];

end

function res=MBVPbc(yleft, yright)
    ya = yleft(:,1);
    yb = yright(:,end);
    ymidL = yleft(:, 2);
    ymidR = yright(:,1);
    
    res = [ya(1)-1;
               yb(1)-0.75;
               ymidL(1)-0.9;
               ymidR(1)-0.9;
               ];
end