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控制器设计中的频率分析法（Frequency Methods for Controller Design）

频率法将系统的分析拓展到了频域，为问题的解决增加了一个维度，尽管频率法并不直观，但其对于物理世界中的系统，如由实验数据所建的模型中很实用，比如可以通过分析开环传递函数的频率响应预测闭环时的响应，而这也是分析系统的重要内容。

在给系统建模得到传递函数后，可以由传递函数绘制Bode图或Nyquist图进行频域上的分析。Matlab提供了命令bode(G)、nyquist(G) 可由传递函数G直接绘制对应图形。

一、bode图

（1） 增益裕度（Gain Margin)、相角裕度(Phase Margin)

绘制出Bode图后可以得出系统的增益裕度（gain margin，使得闭环系统处于临界稳定时的开环增益）与相角裕度（phase margin，使得闭环系统处于临界稳定时的开环相位角）：

在Matlab中通过 margin(G) 得到开环传递函数为G的系统的标有裕度Bode图。

（2） 带宽频（bandwidth frequency）

带宽频（bandwidth frequency)的定义是闭环系统响应为-3dB时对应的频率，在实际中更有用的是通过开环的响应来得到带宽频，理论表明，开环系统响应在-6dB ~ -7.5dB 对应频域的相位在-135deg ~ -225deg之间时，可将该频率视为带宽频。
带宽频是一个重要的参数，当输入正弦信号的频域小于带宽频时，系统响应会很好地跟踪输入信号；当大于带宽频时，会出现频域、相位改变。
在Matlab中分析系统响应一个很有用的函数 是lsim(G,u,t,x0) 表示系统对于输入信号u的响应（初始值为x0，缺省为0）

【例】 有闭环传递函数 G(s) = 1 / (s^2+0.5s+1)，观察其伯德图估计输入正弦信号分别为0.3rad/s和3rad/s时系统的稳态响应。

首先注意给出的是系统的闭环函数，绘制出bode图后不能像上图的方法得到系统的裕度，但可以直接由-3dB对应的频率读出带宽频。观察其bode图，-3dB对应的频率大概为1.4rad/s,即为带宽频。0.3rad/s < Wbw，对应的幅值和相位都接近0，即输出幅值、相位与输入基本一致；而3rad/s > Wbw，对应的幅值相位分别接近-20dB（即为输入幅值的1/10）、-180deg（与输入信号相位相反），观察验证：

s = tf('s')
G = 1/(s^2 + 0.05*s + 1);  //传递函数
w = 0.3;  // w = 3;
t = 0:0.1:100;  //定义时间
u = sin(w*t);  //定义输入信号
[y,t] = lsim(G, u, t);  //系统对于输入信号u的响应
plot(t,y,t,u);  //绘图t-u,t-y
axis([50 100 -2 2]  // axis([90 100 -1 1])

结果如下，w = 0.3的图像：

w = 3的图像：

由图像可以看出，我们的预测正确。

除了上面，由开环传递函数的bode图进行闭环响应预测需要搞清这么几点：

  • 使用bode图时系统在开环时必须稳定
  • 对于带宽频一个很粗略的估计是系统的自然频率（the natural frequency），常用于一阶系统，同时一阶系统的响应不会出现超调；
  • 对于二阶系统，相位裕度较小时，闭环阻尼比是决定其大小的主要参数。定量描述为：当相位裕度在0~60deg时，闭环系统的阻尼比近似等于相位裕度除以100；
  • 对于二阶系统，频带宽Wbw由阻尼比及时间常数决定。因此可由阻尼比、调节时间（或峰值时间）计算频带宽，运行文件wbw.m。如下

二、nyquist图

nyquist图同样可以通过分析开环传递函数的频率响应可以预测闭环时的响应。不论系统开环是否稳定，nyquist都可以用来实现设计目标而（与此相反，bode图要求系统开环是稳定的）。
Matlab中绘制nyquist图的函数： nyquist(G) 当系统开环传递函数有虚数极点时，Matlab中提供的nyquist图画法不能完全表示，可以执行文件nyquist1.m ，如下例所示：

s = tf('s');
sys = (s+2)/(s^2);
nyquist(sys);
nyquist1(sys);

nyquist函数所绘图像：

nyquist1函数所绘图像：


可以看出使用自带的nyquist命令，所得图形不全，而使用nyquist1函数，图形可以完全显示。
绘制出Nyquist图后可以通过劳斯判据（The Cauchy Criterion） 来判别系统是否稳定。

下节：控制器设计中的状态空间法

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