台大机器人学——林沛群，学习笔记1

1.导论

• 如何描述一个刚体(Rigid Body)的运动状态？

① 平面：移动2DOFs, 转动1DOF (Degree of Freedom)

② 空间：移动3DOFs, 转动3DOFs；

• 如何整合表达刚体的状态？
• 在刚体上建立Frame，一般建立在质心上...
• 移动：由body frame的原点位置判定... （刚体动到哪里，坐标动到哪里）
• 转动：由body frame的姿态位置判定...（看body frame的坐标相对于world frame的姿态来确定）

• 一个刚体(Rigid Body)的运动状态如何描述？
• 利用各个DOF的微分，将位移displacement和姿态orientation转换到速度（velocity）和加速度（acceleration）等运动状态。

• 只要确实掌握刚体本身几何状态（3个 自由度的移动和3个自由度的转动），就可以确认整个刚体的运动状态。

2. 移动

以向量vector

  来描述{B}的原点相对于{W}的状态：以

为例子：

• 向量可表示空间关系的两个方式：
• 描述一个空间中绝对的位置： 

• 描述转动：{B}的三个方向，以此方式表达body frame上principal axes的方向：

3.转动(后面世界坐标系都是{A})

描述{B}相对于{A}至姿态——Rotation Matrix ( B relative to A)

进一步，可以将此视为

 ，

,

在A上的投影的分量:

• EX {B}相对于{A}的姿态旋转矩阵为多少?

• EX2 {B}相对于{A}的姿态旋转矩阵为多少?

4.旋转矩阵的进一步说明——描述两个坐标系之间的相对关系

内积是一个常量，前后互换不改变：

旋转矩阵每一个列向量代表{B}的X,Y,Z投在{A}上，同时，由于内积的特性，也可以看为{A}的X,Y,Z的三个分类投在{B}上。

即，A对B的旋转矩阵的转置即为B对A的旋转矩阵。

进一步，我们可以发现：

所以，通过这个定义我们可以轻松发现：

  ，即旋转矩阵的逆等于其自身转置矩阵。

正交矩阵定义：

5.旋转矩阵的进一步说明——用于转换向量坐标(从一个frame转到另外一个frame)

P在{B}上的表达：

P在{A}上的表达：

又：框住部分表示——AP_x可以看成BP向量在{A}X上的投影。

所以，有：

P点在{B}上的表达法×{B}相对于{A}的旋转矩阵=P点在{A}上的表达法

EX1：

6.旋转矩阵的进一步说明——进一步描述物体【转动】的状态

• 以对三个主轴转动的matrix为基础：(逆时针为正，以正方向→负方向的视角看）

EX1: 一个向量，相对于{A}的X轴逆时针旋转30°，求向量坐标：

总结：Rotation Matrix的三种用法：

• 描述一个 frame相对于另一个frame的姿态

• 将point由某一个frame的表达转换到另一个和此frame仅有相对转动frame来表达

• 把一个向量vector(或point)在一个frame进行转动