台大机器人学——林沛群

1.复习：关于Rotation Matrix

• 三个用法：

1. 描述一个frame相对于另一个frame的姿态
2. 将point由某一个frame的表达转换到另一个frame（仅有相对转动变化）来表达
3. 将point(vector)在同一个frame中进行转动

• 思考——空间中的Rotation是3DOFs，那要如何把一般rotation matrix所表达的姿态，拆解成3次旋转角度，以应对到3个DOFs？
• 注意事项：
• Rotation前后顺序需要明确定义（与移动不同，先向X移动后向Y移动与先向Y移动后向X移动可以互换顺序，而旋转不可以）
• 旋转转轴也需要明确定义。一般有两种：【固定不动】旋转轴和【Body frame(随动)】转轴。
• 两个拆解方式：
• 对方向【固定不动】的旋转轴旋转：Fixed angles ...
• 对【转动的frame当下所在】的旋转方向旋转：Euler angles ...

2. Fixed Angles

2.1 X-Y-Z Fixed Angles -- 由angles推算旋转矩阵R（三次旋转分别针对X,Y,Z轴来做，X,Y,Z轴是固定不动的，如下图蓝色坐标系）(逆时针为正）

如何由三个角度推算出Rotation Matrix?

EX1:

可以发现，更换转动顺序后，旋转矩阵数值与frame姿态都不相同，即是转动角度相同，顺序不同，最后的状态不同。

2.2 X-Y-Z Fixed Angles——由R推算angles

EX1 先给旋转矩阵内容，计算三个角度

3. Euler Angles

3.1 Z-Y-X Euler Angles-由angles推算R (绕被转动转轴去做旋转)

如何由三个角度推出Rotation Matrix?

先转的放【前面】：以mapping来想，对某一个向量，从最后一个frame【逐渐转动或移动】来回到第一个frame：

EX1:

EX2: Euler(Y30,X60) v.s. Fixed(X60,Y30)

3.2 Z-Y-Z Euler Angles - 由angles推算Rotation Matrix.

旋转矩阵表达法：先转放前面，后转放后面（反向mapping）

3.3 Z-Y-Z Eulers Angles - 由Rotation Matrix推算angles

EX: Revisit Euler Angles-2的范例

争取一个特定的R，有多种的拆解组合:

• 12种Euler Angles和12种Fixed Angles;
• 存在Duality---共12种对Principal Axes连3次转动的拆解方法；

4. Angle-Axis表达法：

5. Quaternion(四元数）表达法

其中： 

这里，四个参数加一个条件约束，也为3DOFs。