台大机器人学——林沛群
1.复习:关于Rotation Matrix
- 三个用法:
- 描述一个frame相对于另一个frame的姿态
- 将point由某一个frame的表达转换到另一个frame(仅有相对转动变化)来表达
- 将point(vector)在同一个frame中进行转动
- 思考——空间中的Rotation是3DOFs,那要如何把一般rotation matrix所表达的姿态,拆解成3次旋转角度,以应对到3个DOFs?
- 注意事项:
- Rotation前后顺序需要明确定义(与移动不同,先向X移动后向Y移动与先向Y移动后向X移动可以互换顺序,而旋转不可以)
- 旋转转轴也需要明确定义。一般有两种:【固定不动】旋转轴和【Body frame(随动)】转轴。
- 两个拆解方式:
- 对方向【固定不动】的旋转轴旋转:Fixed angles ...
- 对【转动的frame当下所在】的旋转方向旋转:Euler angles ...
2. Fixed Angles
2.1 X-Y-Z Fixed Angles -- 由angles推算旋转矩阵R(三次旋转分别针对X,Y,Z轴来做,X,Y,Z轴是固定不动的,如下图蓝色坐标系)(逆时针为正)
![](https://pic1.zhimg.com/80/v2-a7da94db84c6b8c706483c91626f5090_720w.jpg)
如何由三个角度推算出Rotation Matrix?
![](https://pic4.zhimg.com/80/v2-ecda793ce75ec9c625c449d13e57433f_720w.jpg)
![](https://pic4.zhimg.com/80/v2-ad80588fe6e78b7183d9254624d9ceb3_720w.jpg)
![](https://pic3.zhimg.com/80/v2-8f346b884c8addc12fe3928db3781bca_720w.jpg)
EX1:
![](https://pic1.zhimg.com/80/v2-fc1ba408409a8dd357bb8a65c8fd6584_720w.jpg)
可以发现,更换转动顺序后,旋转矩阵数值与frame姿态都不相同,即是转动角度相同,顺序不同,最后的状态不同。
![](https://pic4.zhimg.com/80/v2-df9f79ce59a15551211572ba0a23f5e3_720w.jpg)
2.2 X-Y-Z Fixed Angles——由R推算angles
![](https://pic2.zhimg.com/80/v2-0ccd8e6a17643413c545a29fcb692f5d_720w.jpg)
![](https://pic2.zhimg.com/80/v2-69b9b7254376a8ddce9ecf5d54c1de91_720w.jpg)
EX1 先给旋转矩阵内容,计算三个角度
![](https://pic3.zhimg.com/80/v2-719839d3655ac03afc8dea1a15ef990e_720w.jpg)
3. Euler Angles
3.1 Z-Y-X Euler Angles-由angles推算R (绕被转动转轴去做旋转)
![](https://pic3.zhimg.com/80/v2-e7802aaab26836c9735a05e4080b8276_720w.jpg)
如何由三个角度推出Rotation Matrix?
![](https://pic2.zhimg.com/80/v2-09b056b594af0d44bdc0e0f74b752fcd_720w.jpg)
先转的放【前面】:以mapping来想,对某一个向量,从最后一个frame【逐渐转动或移动】来回到第一个frame:
![](https://pic2.zhimg.com/80/v2-646da9dc5e1d718bc4987ad59c265fe5_720w.jpg)
![](https://pic4.zhimg.com/80/v2-343807adfade4a7357fadff6a4d454a7_720w.jpg)
EX1:
![](https://pic1.zhimg.com/80/v2-da34bd04857a7f2e4d6341e038ba1b1c_720w.jpg)
EX2: Euler(Y30,X60) v.s. Fixed(X60,Y30)
![](https://pic3.zhimg.com/80/v2-e4d72b68e869901183dd9d3238400fde_720w.jpg)
3.2 Z-Y-Z Euler Angles - 由angles推算Rotation Matrix.
![](https://pic2.zhimg.com/80/v2-e49a2de2fa9950d6d8429d6fcab822d1_720w.jpg)
旋转矩阵表达法:先转放前面,后转放后面(反向mapping)
![](https://pic1.zhimg.com/80/v2-865f82e65e87cf7a6536bd29743640a8_720w.jpg)
3.3 Z-Y-Z Eulers Angles - 由Rotation Matrix推算angles
![](https://pic3.zhimg.com/80/v2-266cd37623ca9801f0812dcc4a56706e_720w.jpg)
EX: Revisit Euler Angles-2的范例
![](https://pic2.zhimg.com/80/v2-9d29102f17f8d8c93a1d51cf1a222ce5_720w.jpg)
争取一个特定的R,有多种的拆解组合:
- 12种Euler Angles和12种Fixed Angles;
- 存在Duality---共12种对Principal Axes连3次转动的拆解方法;
4. Angle-Axis表达法:
![](https://pic2.zhimg.com/80/v2-d8bf39a0671aa297d4f301053420fcb5_720w.jpg)
5. Quaternion(四元数)表达法
其中:
这里,四个参数加一个条件约束,也为3DOFs。
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