台大机器人学——林沛群
1.Operators ——对向量(或点)进行移动或者转动
(1)仅有移动:从P1→P2:
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(2)仅有移动:P1→P2
![](https://pic4.zhimg.com/80/v2-1d50dd9b58c391d611ae60d8396e7d1b_720w.jpg)
(3)移动转动复合:P1→P12→P2 注意,先转动后移动≠先移动后转动 先移后转 移动后的向量也要乘上旋转矩阵。
![](https://pic1.zhimg.com/80/v2-86887579e8d5d7a3d044e50726b000ec_720w.jpg)
EX : Point
先对Z轴转30°,然后移动
到
,求
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![](https://pic3.zhimg.com/80/v2-d89567a3af28ad846a6a7e2927a2059a_720w.jpg)
注意:Mapping,是把一个vector(point)从一个frame的表达,转动另外一个frame表达;Operator是对一个vector(point)进行一系列旋转平移操作。
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因为运动是相对的,Transformation Matrix对向量进行移动或转动操作,也可以想象成是对frame进行【反向】的移动或转动的操作。
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![](https://pic2.zhimg.com/80/v2-fdb85559e145e2906af97ef18f743fb1_720w.jpg)
2. Transformation Matrix的三种用法小结:
- 描述一个frame相对一另一个frame的空间状态:
![](https://pic2.zhimg.com/80/v2-ab2cef346782b6fd721e6f08aa168401_720w.jpg)
2. 将point有某一个frame的表达转到另一个frame表达——MAPPING!
![](https://pic4.zhimg.com/80/v2-5bcc5cb58d3de5a9d054d8020a66f02f_720w.jpg)
3. 将point(vector) 在同一个frame中进行移动和转动——OPERATORS!
![](https://pic1.zhimg.com/80/v2-1a663cc3cc8b5270ca947b0d93f31320_720w.jpg)
3. Transformation 运算法则
3.1 连续运算
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列成Transformation Matrix的形式:
![](https://pic2.zhimg.com/80/v2-3c9a925d6d8cc70978bda60bff05f921_720w.jpg)
同理:若还有{D} frame:
![](https://pic1.zhimg.com/80/v2-b77baa6391550d7376ccf08fc46df450_720w.jpg)
![](https://pic4.zhimg.com/80/v2-624f56289d3bd7393b0b041254fd40a3_720w.jpg)
3.2 Transformation Matrix的逆矩阵
复习: 在学习Rotation Matrix的时候,我们发现,R的反矩阵就是其转置。那Transformation Matrix 的逆矩阵应该怎么求呢?
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3.3 连续运算2 ——求未知的相对关系
任意一个frame未知,都可以利用其它已知的frame的相对关系求出这个未知。
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连续运算,就是对矩阵“搬来搬去”的运算,所以前面需要求逆矩阵,有了逆矩阵,所有的运算都很方便了。
3.4 连续运算法则
- initial condition: {A} and {B} coincide: (初始A,B两个frame 重合)
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- {B} 对 {A} 的转轴旋转:用"Premultiply"(自左乘)
- 以operator来想,对某一个向量【以同一坐标为基准】,进行转动或移动的操作
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- {B} 对 {B} 的自身转轴旋转:用"Postmultiply"(自右乘)
- 以mapping来想,对某一个向量,从最后一个frame【逐渐转动或移动】来回到第一个frame
![](https://pic1.zhimg.com/80/v2-42921eac29134a7bb2302960437f4710_720w.jpg)
- 以固定的{A}或移动的{B}为基准进行移动转动操作,transformation matrix应用不同的连乘方式。
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