上一课时

最后留了一个问题,为什么多用了6个参数来描述物体的位姿。因为其中的旋转矩阵有9个参数,事实上因为它是一个标准正交矩阵,完全可以用3个参数来确定这个矩阵。

3.4 描述姿态/方向的其它方法

3.4.1 X-Y-Z固定角坐标系

每个旋转都是绕着固定参考坐标系的轴。绕 x  y  z 轴旋转的角也分别叫做回转角(roll)、俯仰角(pitch)和偏转角(yaw)。

3.4.2 Z-X-Z欧拉角

欧拉角还有其它的组合。

3.4.3 任意轴

  • 向量的方向表示轴Â
  • |Â|=1, 所以只需要2个数字就可以确定该向量
  • 幅度通过给定的角度

 [公式] 确定

3.4.4 不同坐标系描述姿态之间的转换

固定角坐标系与旋转矩阵的转换:

例如假设先绕 x 轴旋转

 [公式] 角度,再绕 y 轴旋转

 [公式] 角度,最后绕 z 轴旋转

 [公式] 角度,那么有:

[公式]

这里将旋转看作算子依次进行旋转,从右开始,可以得到上式。旋转顺序不同,上式中矩阵的顺序也不同。[注:用于坐标系间点的映射的通用数学表达式称为算子。]

常使人感兴趣的是逆解问题,即从一个旋转矩阵等价推出X-Y-Z固定角坐标系。

旋转矩阵为:

[公式]

可得:

[公式]

[公式] 是一个双参数的反正切函数。特殊情况以后再讨论,详细可见参考书1的2.8章节。更多转换见参考书1的附录。

3.5 旋转出现的问题

奇异点--奇异点附近的旋转都会出现问题。

  • 旋转矩阵最常用,但是
    • 数值的累积误差
    • 插值
    • 乘法的复杂性
  • 用角度表示
    • 地址数值累积误差
    • 退化(即万向节死锁/Gimbal Lock问题,原因是有不同的旋转轴共线,自由度减少。

  • 任意轴表示
    • 零旋转问题

奇异点的解决方法:Quaternions四元数,用4个实数表示旋转,其中有3个虚数单位,表示3个轴向临近轴的旋转。

下一课时: 雅可比矩阵