上一节 正向运动学

这一节阅读参考书1第5章

概述

符号：

• 向量

• 矩阵

• 导数

  , q 指关节角

•  等同于

  在求导公式中指微小的变化

•  ，

  ，

  ，

• -------注意：上面关于向量 X 和矩阵 M 的下标与下文中的 X 和 J 不一致。

我们想控制机器手臂到达想要的位置，这个位置用  来表示，其中前三个参数表示位置，后三个参数表示姿态。而我们能控制/能得到的是每个关节处的关节角  那么如何才能根据目标位姿计算关节角? 很简单求逆函数。因为这里 

但是，求解

  很难，而且有很多种关节角的组合可以到达同一个位姿，这个时候它就不再是一个函数。还有可能无解，即手臂到达不了的位姿。

那么能不能换个思路找到这样一个关系：

即找到位姿的微小变化与关节角微小变化的关系 g ，然后对 g 求逆。(--这个思路的来源是导数的定义。)

根据正向运动学

假设我们可以分布达到目标位姿，即第一步先到达

  ，第二步到达

  ，......。即我们把 X 分解为

  把 f 分解为

  。然后末端执行器有微小的移动的时候，关节角有什么变化呢?

写成矩阵的形式：

其中的  就叫做Jacobian Matrix。这里值得注意的是，雅可比矩阵并不是固定的，它随着当前关节角 q 的改变而改变。这里的巧妙之处在于：由于很难求解 f 的逆函数，转而去求在某一点上 f 的偏导。

 是位姿关于关节角的函数，那么

  描述的就是速度。所以雅可比矩阵与速度密不可分。

例：

如上图，已知:

那么有：

这里有个很有意思的地方，即该模型初始角度为

  ，而第一个角速度为0，也就是说它不会动，虽然在现实中，初始角度很难非常精准的等于0，但这也是一个问题。

机器人学中的雅可比一般指雅可比矩阵。

总结

1. 在每一个新时刻，如果 q 改变，雅可比矩阵也会改变。雅可比是时变的线性变换
2. 雅可比矩阵的行数=操作臂在笛卡尔空间的自由度数量
3. 雅可比矩阵的列数=操作臂的关节数量 (更多的列数可能造成冗余)

这里需要讨论 J 的可逆条件：

• 方阵
• 满秩

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