上一篇把Observability和Constructibility在离散系统中的差别分析了。我们在这篇中分析一下对于一个连续LTI系统而言，两者之间的等价性。然后我们将总结能观性的充要条件，并且再次分析一下PBH test以及Observability Gramian。

有了之前3篇关于能控性和能达性讨论的文章作为铺垫，我们对PBH test和Observability Gramian的讨论就十分地轻松了。Again，如果你发现理解困难，那么请回到前面的几篇文章里去看看一些详细的数学推导与解释。

关于时变系统的能观性其实也就是关于Gramian矩阵的可逆性问题的讨论，我在这里就不展开了，可以参看刘豹的现代控制理论（第三版），或者英语好的查查外文文献。我们的关注点还是放在连续线性时不变系统，Continous Linear Time-Invariant System（CLTIS）

本篇目录

4. 连续LTI系统的能观与能构性

5. Observability Gramian

7. PBH test for Observability of CLTIS

8. 连续LTI系统的能观等价条件总结

4. 连续LTI系统的能观与能构性

系统是否能观和输入的大小并没有关系。我们仅凭着初始条件产生的输出一样能够判定系统的初始状态，这就是最基本的问题。我们考虑以下系统的能观性，假设输入 u=0 ：

[公式]

根据状态方程的解我们马上得到

[公式]

所以为了让这个方程有唯一解，我们采用Cayley-Hamilton theorem展开

 [公式] ，并选择前 n 项

 [公式] 作为基(其中i=0,1,...,n-1  )后得到（参考之前的能控性推导，这里我已经写的比较简略了，参考之前的文章可以帮你理解怎么应用Cayley-Hamilton theorem的）。

[公式]

很明显，要从上面这个式子中唯一的解出 n 个状态的充要条件就是矩阵 [公式] 的秩为 n 。所以在应用Cayley-Hamilton theorem时采用前 n 项的原因，就是为了让这个能观性矩阵至少拥有 n 行，来保证拥有 n 个状态的解。

所以连续LTI系统能观性的充要条件就是：observability matrix 满秩，或者等于系统状态个数 n 。

如之上一篇文章所讨论过的，如果该矩阵不满秩，则会产生一定维数的零空间，零空间中的初始状态

 [公式] 就不能由 y=0 唯一确定了。如果系统不能观，假设系统能构的，我们考虑不能观的初始状态

 [公式] 可以得到 t 时刻的状态

[公式]

此时

 [公式] 并不是唯一的。可是我们假设系统是能构的，这个性质不允许输入 u=0 和输出 y=0 确定出不一样的终端状态

 [公式] 。这意味着，为了满足能构必须保证

 [公式] 对于不同的

 [公式] 只能得到唯一一个答案，那么显然必然有

 [公式] 。从而

 [公式] 必须在

 [公式] 的零空间中。

然而不巧

 [公式] 是一个百分之百可逆的矩阵（你说呢？逆矩阵是什么还没看出来吗？）

所以无论如何

 [公式] 都是非零的（除非初始状态为0），这表明系统无论如何也是不能构的。所以产生了矛盾。这说明系统能构的话，不能观子空间中不存在非零元素，能观性矩阵满秩，即系统能观。我们有：

[公式]

所以以后我们针对连续线性系统而言，就可以只用observability来讨论。因为两个概念对于CLTIS等价。

5. Observability Gramian

之前的文章中我们已经讨论过controllability Gramian了，我们知道通过Gramian来判断能控性是与通过controllability matrix判断是等价的。同理，我们在这里介绍observabiblity Gramian，使用它可以判断能观性，与observability matrix也是等价的。

我们就拿连续LTI系统而言，根据状态方程解：

[公式]

我们有输出 y ：[公式]

由于能观性和输入是没有关系的，所以我们直接让 [公式] ，那么就得到

[公式]

我们希望

 [公式] 是个可逆矩阵，然而实际上并不一定是，所以我们又自己创造了它的一部分使得等式右边产生一个对称矩阵：

[公式]

两边取积分后得到 [公式]

其中

 [公式] 就是observabiblity Gramian。这里取积分，我个人认为的解释有两种：

  1. 是和controllability Gramian统一形式
  2. 如果 A 是stable的，即特征值实部均为负数，

 [公式] 是Lyapunov方程 

[公式] 的解。可以证明积分形式确实是其解。

由于

 [公式] 是个对称矩阵，我们就可以讨论它的秩了。显然我们重新定义了

 [公式] ，为了(1)是拥有唯一解的，

 [公式] 必须是可逆的，才能保证能观性。

在这里

[公式] 可逆还意味着它是正定的！ 我们假设

 [公式] 可逆，但是它不是正定的。我们知道由于

 [公式] 本身就是半正定的（这点之前的文章里就证明过了，不赘述了）。这等价于存在一个非零向量

 [公式] 使得 

[公式]

这就意味着不是

 [公式] 不是列满秩的（线性代数基本定理，或者秩-零化度定理），这等价于系统的能观性矩阵

 [公式] 不是行满秩的（想想为什么？看看上一篇文章找答案），所以系统不能观，那么这与我们的假设，能观的充要条件

 [公式] 可逆，是矛盾的。所以此时

 [公式] 一定是正定的，这样的非零

[公式] 不存在。

7. PBH test for Observability of CLTIS

PBH测试我们在之前能控与能达性分析中已经十分详细地讨论了，那份讨论的内容是十分有价值的。有了那篇文章的铺垫，我们在这里才可以加快速度说明这个能观性的PBH test。

PBH test for observability of CLTI system: CLTI system is observable iff
 [公式] has full column rank for any [公式]


这里只证明必要性（充分性需要用到子空间分解，就不在这里写了）：采用反证法，系统能观，但是 [公式] 列不满秩。那么一定存在一个非零向量 [公式] 使得 [公式] 所以就得到了

 [公式] ，这样根据能观性矩阵

[公式] 必然不是行满秩的。因为这意味着存在非零向量 [公式] 使得

[公式] 我们就知道

 [公式] 成立。

那么跟之前我们讨论过的PBH test一样，我们只需要考虑 

[公式] 取特征值时 [公式] 的秩，把矩阵转置之后，我们就得到了和controllability PBH test一样形式的矩阵，那么在

 [公式] 的秩“缺陷”方向，也就是 

[公式] 的特征向量方向，

 [公式] 的列必须含有所有特征向量的分量来补充其“缺失”，这告诉了我们，要让系统能观，我们必须拥有至少几维的输出！（详细请参看之前的文章）

8. 连续LTI系统的能观等价条件总结

下面就总结一下等价条件，多的就不细讲了，因为根据对偶原理，能控和能观本来就是可以互相在对偶系统中转换的，如果实在不懂，就只要参看能观条件就行了：

  1. [公式] 是observable的
  2. [公式] 矩阵可逆，或者正定（这两个条件也是互相等价的，只针对这个矩阵！）
  3. 能观性矩阵 [公式] 是列满秩的
  4. [公式] 列满秩

其他条件以后讲到其他知识了再提。暂时就这些就OK。暂时休息了，下一篇开始讲Kalman分解，也就是进行能控能观子空间的分解。

参考文献 Reference

这部分参考文献可以查阅前4篇文章的参考文献，基本都可以从那上面找到，我就不多费笔墨了。至此能控和能观的概念理解我也写完了。能观性的直接好处就是告诉了我们重构状态空间的可能性，那么所谓的状态观测器也是基于这个性质保证了其可行性。