其中，x(t)∈Rn，$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$是一个常量矩阵。若给出初始条件$x(0)=x_0$，则可得到微分方程的解为：$$x(t)=x_0{e}^{At}$$

　　矩阵指数eAt可以根据泰勒展开式来计算：

如果矩阵A可以表达成$A=PD{P}^{-1}$，P为可逆矩阵，则有：

更进一步，如果A可以对角化，即D是对角矩阵：$D=diag\{d_1,d_2,...,d_n\}$，则eDt可以很方便的计算：

•  Exponential Coordinates of Rotations

 　　参考下图中的描述，假设三维向量p(0)绕着转轴ω^旋转θ度后到达p(θ)。用p(t)代表t$t$时刻向量p的位置，则该过程也可以描述为：p(0)以角速度ω^旋转（ω^为单位角速度），从t=0运动到t=$\theta$。

　旋转时的速度可用p˙来描述，且有：$$\dot{p}=\hat{\omega }\times p$$

　　用斜对称矩阵[ω^]可以将向量叉乘变为矩阵与向量乘法，因此上面的微分方程可写为：$$\dot{p}=[\hat{\omega }]p$$

 　　若ω^=[ωx,ωy,ωz]T，定义斜对称矩阵[ω^]：

已知初始条件p(0)，该方程形式如前面研究过的$\dot{x}=Ax$，因此其解为：$p(t)=e^{[\hat{\omega }]t}p(0)$

　　由于变量t和θ可互换，则上面方程可写为：

　　根据正弦和余弦函数的泰勒展开式：

　可以将上面公式进行简化。给定$\hat{\omega }\theta \in {\mathbb{R}}^3$，其中θ为任意标量，$\hat{\omega }\in {\mathbb{R}}^3$且为单位向量。则根据$[\hat{\omega }]$、θ进行旋转的旋转矩阵为：

该公式也称为Rodrigues’ formula（罗德里格斯公式） 。

 　　举个例子，下图中坐标系{b}相对于固定参考坐标系{s}的姿态可以描述为：初始时刻两坐标系一致，{b}绕单位向量$\widehat{{\omega }_1}=(0,0.866,0.5)$旋转θ1=30∘=0.524rad后到达当前姿态。

　则{b}相对于{s}的旋转矩阵可以计算为：

　坐标系{b}的姿态可由矩阵R描述，或者由单位向量$\widehat{{\omega }_1}=(0,0.866,0.5)$以及转角${\theta }_1=0.524rad$来描述，即旋转矩阵R的指数坐标为$\widehat{{\omega }_1}{\theta }_1=(0,0.453,0.262)$

　　在Mathematica中RotationMatrix函数可以根据转轴和转角计算旋转矩阵：

•  Matrix Logarithm of Rotations

　　如果向量$\hat{\omega }\theta \in {\mathbb{R}}^3$表达了旋转矩阵R的指数坐标，则斜对称矩阵$[\hat{\omega }\theta ]=[\hat{\omega }]\theta$是旋转矩阵R的对数。矩阵的对数是矩阵指数的逆：

当转角$\theta$不为$\pi$的整数倍时，可以根据旋转矩阵R计算出转轴：

　　或表述为斜对称矩阵形式：

　具体推导和细节可参考：Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control   3.2.3.3 Matrix Logarithm of Rotations 

 

 

参考：

物理引擎中的刚体转动2

四元数指数映射旋转参数化的实际应用

视觉SLAM中的数学基础 第二篇 四元数

视觉SLAM中的数学基础 第三篇 李群与李代数

李群与李代数 - part 2 指数与对数映射、李代数求导与扰动模型

Axis–angle representation

Rodrigues' rotation formula

Lie Groups for 2D and 3D Transformations

Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control  3.2.3 Exponential Coordinate Representation of Rotation

Lie groups, Lie algebras, projective geometry and optimization for 3D Geometry, Engineering and Computer Vision