本节介绍保守场、完整系统中的拉格朗日方程,该方程是分析力学中最重要的方程之一——拉格朗日方程的最简单的形式。
2. 保守场、完整系统中的拉格朗日方程
已知达朗贝尔-拉格朗日方程(动力学普遍方程)为:
将保守力做功定义为势能 的负数,即 ,此时的动力学普遍方程变为
对于上式的第二项,进行如下讨论:
此时的动力学普遍方程可以写为
将 项定义为动能 ,此时有
在时间间隔 上积分上式,有
我们令边界处的虚位移 ,则
这就是哈密顿原理,真实的位形轨道使得 取极值(变分为0)。
系统的动能是广义坐标和广义速度的函数,即
系统的势能是广义坐标的函数,即
对动能和势能求变分,得
此时哈密顿原理式可写为
对上式中的 项进行分部积分处理:
令 ,可得
这样,哈密顿式可写为
在完整系统中, 相互独立,因此有
我们令 ,则
因此
上式即为著名的拉格朗日方程。对比之前的欧拉-拉格朗日方程 ,可以发现就是将 换为了 ,故在动力学过程中,质点在空间中的位矢 让 在任意时间间隔 上的积分达到最小值, 称为拉格朗日函数。
虽然我们用哈密顿原理推出了拉格朗日方程,但实际上哈密顿原理了是受拉格朗日方程启发而产生的。
拉格朗日:“如何消去牛顿运动方程中难以求解的约束力?我推了个拉格朗日方程 。”
欧拉:“如何解决最速降线问题?我推了个欧拉方程 。”
哈密顿:“这两个方程长得一模一样,欧拉方程是泛函取极值的条件,拉格朗日方程对应物体的运动,大师我悟了,物体的运动对应着某个泛函取极值,我叫它哈密顿原理。”
需要注意的点:
- 我们是用动力学普遍方程来作为推导的开始,因此得到的结果是在理想约束条件下的;
- 在推导中我们使用了“ 相互独立”这一条件来使得 前的系数全为0,因此得到的结果是在完整约束条件下的。
当初笔者在学习这一部分时有疑问:推导过程中“ 相互独立”这一条件如何满足?根据广义坐标的定义,广义坐标是可以任意取的,只要能够唯一确定系统的位形就可以了,但是我们在使用保守系统的拉格朗日方程时,广义坐标需要满足“ 相互独立”这一条件,因此在选择广义坐标时,我们必须要按最小广义坐标数去取。这是完整约束条件下的情况,到后面处理非完整约束时,我们又会看到不一样的结果,广义坐标不一定要按照最小数量选取,这是后话。
在保守场中使用拉格朗日方程的步骤:
- 定义广义坐标:确定用来描述系统的广义坐标的数量与类型;
- 计算速度:利用广义坐标写出速度表达式;
- 计算动能:计算出系统具有的动能;
- 计算势能:合理选择零势点,计算出系统具有的势能;
- 求解拉格朗日方程:计算出拉格朗日函数的值,并求解拉格朗日方程。
例2-2. 如图2-4所示平面复合摆,试写出其运动方程。
解:
步骤1:定义广义坐标。我们定义 与 为描述系统运动的广义坐标。
步骤2:计算速度。除了惯性系 外,定义旋转系 和旋转系 ,均为右手系,其中 轴、 轴与 轴重合, 轴沿 , 轴沿 。可以求得 相对于点 的速度在惯性系下的表示为
相对于点 的速度在惯性系下的表示为
步骤3:计算动能。
求得
步骤4:计算势能。选取点 为零势能点,有:
步骤5:求解拉格朗日方程。
得:
同理,对于 ,可以写出:
经过上面的例子,我们可以对拉格朗日力学有一个直观感受“证明优美十分,求解暴力无比”。1788年,拉格朗日的巨著《分析力学》问世,全书根据一个虚功原理,用严格的数学分析方法来处理所有的力学问题,不同于牛顿在《自然哲学的数学原理》中经常使用几何图形来描述观点,《分析力学》全书自始至终没有用到过一张图,拉格朗日对此感到非常满意与骄傲,他在序中宣称:“在这本书中找不到一张图,我所叙述的方法既不需要作图,也不需要任何几何的或力学的推理,只需要统一而有规则的代数运算。”虽然在现代科学技术中,图是一种必不可少的工具,不使用图形着实谈不上是什么优点,但我们可以从中体会到分析力学的精髓所在:“数学分析与代数运算”。
之前内容:
参考文献:F. Daqaq. Dynamics of particles and rigid bodies: a self-learning approach[M]. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2018.
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