本节介绍保守场、完整系统中的拉格朗日方程,该方程是分析力学中最重要的方程之一——拉格朗日方程的最简单的形式。

2. 保守场、完整系统中的拉格朗日方程

已知达朗贝尔-拉格朗日方程(动力学普遍方程)为:

[公式]

将保守力做功定义为势能 [公式] 的负数,即 [公式] ,此时的动力学普遍方程变为

[公式]

对于上式的第二项,进行如下讨论:

[公式]

[公式]

此时的动力学普遍方程可以写为

[公式]

 [公式] 项定义为动能 [公式] ,此时有

[公式]

在时间间隔 [公式] 上积分上式,有

[公式]

我们令边界处的虚位移 [公式] ,则

[公式]

这就是哈密顿原理真实的位形轨道使得 [公式] 取极值(变分为0)

系统的动能是广义坐标和广义速度的函数,即

[公式]

系统的势能是广义坐标的函数,即

[公式]

对动能和势能求变分,得

[公式]

[公式]

此时哈密顿原理式可写为

[公式]

对上式中的 [公式] 项进行分部积分处理:

[公式]

 [公式] ,可得

[公式]

这样,哈密顿式可写为

[公式]

在完整系统中, [公式] 相互独立,因此有

[公式]

我们令 [公式] ,则

[公式]

因此

[公式]

上式即为著名的拉格朗日方程。对比之前的欧拉-拉格朗日方程 [公式] ,可以发现就是将 [公式] 换为了 [公式] ,故在动力学过程中,质点在空间中的位矢 [公式]  [公式] 在任意时间间隔 [公式] 上的积分达到最小值, [公式] 称为拉格朗日函数

虽然我们用哈密顿原理推出了拉格朗日方程,但实际上哈密顿原理了是受拉格朗日方程启发而产生的。
拉格朗日:“如何消去牛顿运动方程中难以求解的约束力?我推了个拉格朗日方程 [公式] 。”
欧拉:“如何解决最速降线问题?我推了个欧拉方程 [公式] 。”
哈密顿:“这两个方程长得一模一样,欧拉方程是泛函取极值的条件,拉格朗日方程对应物体的运动,大师我悟了,物体的运动对应着某个泛函取极值,我叫它哈密顿原理。”

需要注意的点:

  • 我们是用动力学普遍方程来作为推导的开始,因此得到的结果是在理想约束条件下的;
  • 在推导中我们使用了“ [公式] 相互独立”这一条件来使得 [公式] 前的系数全为0,因此得到的结果是在完整约束条件下的。
当初笔者在学习这一部分时有疑问:推导过程中“ [公式] 相互独立”这一条件如何满足?根据广义坐标的定义,广义坐标是可以任意取的,只要能够唯一确定系统的位形就可以了,但是我们在使用保守系统的拉格朗日方程时,广义坐标需要满足“ [公式] 相互独立”这一条件,因此在选择广义坐标时,我们必须要按最小广义坐标数去取。这是完整约束条件下的情况,到后面处理非完整约束时,我们又会看到不一样的结果,广义坐标不一定要按照最小数量选取,这是后话。

在保守场中使用拉格朗日方程的步骤:

  • 定义广义坐标:确定用来描述系统的广义坐标的数量与类型;
  • 计算速度:利用广义坐标写出速度表达式;
  • 计算动能:计算出系统具有的动能;
  • 计算势能:合理选择零势点,计算出系统具有的势能;
  • 求解拉格朗日方程:计算出拉格朗日函数的值,并求解拉格朗日方程。

例2-2. 如图2-4所示平面复合摆,试写出其运动方程。

图2-4. 平面复合摆示意图

解:

步骤1:定义广义坐标。我们定义 [公式]  [公式] 为描述系统运动的广义坐标。

步骤2:计算速度。除了惯性系 [公式] 外,定义旋转系 [公式] 和旋转系 [公式] ,均为右手系,其中 [公式] 轴、 [公式] 轴与 [公式] 轴重合, [公式] 轴沿 [公式][公式] 轴沿 [公式] 。可以求得 [公式] 相对于点 [公式] 的速度在惯性系下的表示为

[公式]

[公式] 相对于点 [公式] 的速度在惯性系下的表示为

[公式]

步骤3:计算动能。

[公式]

[公式]

求得

[公式]

步骤4:计算势能。选取点 [公式] 为零势能点,有:

[公式]

步骤5:求解拉格朗日方程。

[公式]

[公式]

[公式]

得:

[公式]

同理,对于 [公式] ,可以写出:

[公式]

经过上面的例子,我们可以对拉格朗日力学有一个直观感受“证明优美十分,求解暴力无比”。1788年,拉格朗日的巨著《分析力学》问世,全书根据一个虚功原理,用严格的数学分析方法来处理所有的力学问题,不同于牛顿在《自然哲学的数学原理》中经常使用几何图形来描述观点,《分析力学》全书自始至终没有用到过一张图,拉格朗日对此感到非常满意与骄傲,他在序中宣称:“在这本书中找不到一张图,我所叙述的方法既不需要作图,也不需要任何几何的或力学的推理,只需要统一而有规则的代数运算。”虽然在现代科学技术中,图是一种必不可少的工具,不使用图形着实谈不上是什么优点,但我们可以从中体会到分析力学的精髓所在:“数学分析与代数运算”。

之前内容:

参考文献:F. Daqaq. Dynamics of particles and rigid bodies: a self-learning approach[M]. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2018.