本节介绍非保守场、完整系统中的拉格朗日方程，这个方程相较保守场中的拉格朗日方程会多出一些东西。

3. 非保守场、完整系统中的拉格朗日方程

我们在上节介绍了保守场中的拉格朗日方程，接下来我们讨论非保守场中的拉格朗日方程。

仍然动力学普遍方程起手：

由于非保守力的存在，  ，将外力分解为保守力  、非保守力  ，此时动力学普遍方程可写为

仍然将  记为  ，并将非保守力项  记为  ， 上式第三项 同上节处理方法，因此有

两端定积分，得

上式与上节提到的哈密顿原理式十分相似，称为拓展哈密顿原理，我们利用该原理来推导非保守场中的拉格朗日方程。

已知虚位移为

代入到  中，得

我们令  ，则

称  为广义力，注意，广义力并不一定具有力的量纲，也有可能是力矩的量纲。此时拓展哈密顿原理为

由于  ，对其求变分，有

因此有

上式中的  项分部积分处理，有

故

因为  相互独立，因此

这就是非保守场中的拉格朗日方程。

另外，对于广义力  ，有

证明：已知  ，则用  对时间求导得：

继续求导：

此外，由上述不难看出，  ，则  对时间求导得

比较这两个式子，可以得到

得证。

对于系统中存在粘性阻尼力  的情况，我们可以写出其对应的广义力：

为了将此线性耗散阻尼直接地体现在拉格朗日方程中，我们令

上式对  求导，得

因此，前面的拉格朗日方程变为

注意，  具有功率的量纲，称为耗散功率。

在非保守场中使用拉格朗日方程的步骤：只需在保守场的五大步骤中加入两步即可

• 定义广义坐标；
• 计算速度；
• 计算动能；
• 计算势能；
• 定义耗散功率：对于符合线型粘性阻尼模型的耗散力，定义其耗散功率；
• 计算广义力：利用每个广义坐标，计算出广义力；
• 求解拉格朗日方程。

例2-3. 如图2-5所示系统，利用拉格朗日方程得到运动方程。

解：

步骤1：定义广义坐标。定义  、  为描述该系统所需要的广义坐标。

步骤2：计算速度。很显然，  的速度为  ， 的速度为  。

步骤3：计算动能。

步骤4：计算势能。存在于系统中的变化的势能仅有弹性势能

步骤5：定义耗散功率。线性粘性阻尼的耗散功率为

步骤6：计算广义力。

步骤7：求解拉格朗日方程。

之前内容：

参考文献：F. Daqaq. Dynamics of particles and rigid bodies: a self-learning approach[M]. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2018.