本节将基于一些例题介绍拉格朗日方程在刚体上的应用，毕竟刚体与质点还是有差距的，使用基于简单模型的例题可以实现较好的介绍效果。

由于内力和约束力在分析法中并不会自然地出现，因此若要得到这些力的大小，我们必须使用一些间接的、通常显得较复杂的方法来计算这些力，这也会在本节得到体现（本节主要内容）。

2. 拉格朗日方程在刚体上的应用

例3-2. 如图3-3所示，两根长为  ，质量为  的杆焊接成为T型杆，T型杆的一头铰接在一个以常值角速度  旋转的柱体上，试写出杆的由  表示的运动方程。

解：

定义旋转系  与旋转系  ，其中旋转系  随着柱体旋转，  轴与  轴重合；系  建在T型杆上，当  为零时，系  与系  重合。此时有：

计算刚体动能，注意到点  为刚体上相对惯性空间固定的点，因此

故

计算势能：

由于  的存在而产生的广义力为：

列写拉格朗日方程，得到：

可以看到在刚体上应用拉格朗日方程和在质点上的流程区别并不大，除了算能量的时候有点区别。

接下来我们将讨论如何使用拉格朗日方程求取约束力，先使用质点动力学的一个（非常）重要的例子作为铺垫/知识储备（例3-3），然后再在刚体中讨论。

例3-3. 如图3-4所示，质量为  的小球在半径为  的光滑球面上运动，利用拉格朗日方程，求出球面对小球的作用力  。

解：

本题使用矢量法（牛顿力学）是非常容易的：

由图3-5所示，有

现在，我们来讨论如何使用分析法来解决此问题，由于约束力在虚位移上不做功，因此我们无法直接使用拉格朗日方程求得约束力，而需要借助一些间接的方法。

我们首先假设约束不存在，这样，小球就不会受到球面的约束而出现沿直径的法向位移分量  ，如图3-6所示。我们新引入广义坐标  来描述系统的位形

到这里，相信已经有同学意识到了，我们去除约束并加入新的广义坐标  ，实际上就是引入了不独立的广义坐标变分，“去约束”这一操作只是为了便于理解；那么，引入不独立的广义坐标变分的目的又是什么？

已知非完整系统的拉格朗日方程：

观察上式，待定乘数  似乎和广义力  具有同样的量纲？因此，很自然（真的很自然），我们接下来的思路就是，通过制造不独立的坐标变分，从而使用拉格朗日方程来解出待定乘数  ，观察其与约束力的关系。

小球的位矢与速度为：

动能与势能为：

约束方程可以写为  或  ，列写拉格朗日方程：

将拉格朗日方程与约束方程联立：

对照矢量法的结果，发现

这印证了我们前面的想法：拉格朗日乘子和广义力果然有一腿！:)

实际上，拉格朗日乘子就是约束力产生的广义力 

上面的例子非常重要，它给我们展示了约束力的求法。

例3-4. 如图3-7所示，一个缠绕着绳索的圆盘沿绳索无滑动滚下，圆盘半径为  ，质量为  ，用拉格朗日法求绳索张力。

解：我们去掉绳索约束（如图3-8所示），添加广义坐标  ，则  对应的约束为：  或  。

圆盘的动能：

其中

则

圆盘的势能（绳索与水平面连接点为零势能点）：

系统中没有外力的存在，则  。

列写拉格朗日方程：

与约束  联立，得：

由拉格朗日乘子的物理意义，有：

可以得到  。

例3-5. 如图3-9所示，一个长为  ，质量为  的杆由图示位置释放，用拉格朗日法将点P处的剪切力表示为  的函数。

解：

去掉点P处的剪力约束，加入新的广义坐标  ，如图3-10所示。

接下来当作两根杆来处理。

长杆的动能：

其中  ，  ，得：

短杆的动能：

计算  ：

总动能：

计算势能：

列写拉格朗日方程：

约束为  ，故：

根据拉格朗日乘子的物理意义：

因此有

之前内容：

参考文献：F. Daqaq. Dynamics of particles and rigid bodies: a self-learning approach[M]. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2018.