积分控制的鲁棒性(robustness)与抗扰能力(disturbance rejection)只在常值扰动和常值参考信号下效果好，而当参考信号与扰动不是一个常值时，我们需要考虑另外一类控制设计方法。这一篇文章介绍线性系统控制设计中的一个基本问题：输出调节问题(Linear Output Regulation)，解决这一问题，我们就能设计出能够robustly渐进跟踪(asymptotic tracking)参考信号，并且抑制扰动。

下面几篇文章中的设计方法其实并不是只针对SISO系统的，而是一种同样适用于linear multivaraible system(MIMO)的控制设计。

本篇目录：

1. 线性输出调节问题 Linear Output Regulation

2. 问题基本框架 Basic Framework

3. 静态反馈 Static Feedback

1. 线性输出调节问题 Linear Output Regulation Problem

输出调节问题(Output regulation problem)，或者也可以叫做伺服问题(servomechanism problem)，是指为一个存在不确定性的系统设计一种反馈控制器，使其针对一类reference inputs和一类disturbances实现该系统的asymptotic tracking和disturbance rejection，同时还要保证整个closed-loop system稳定。

output regulation问题很常见，比如汽车的定速巡航(cruise control of automobiles)，飞机起飞与降落(aircraft landing and taking-off)，机械臂操作(manipulation of robot arms), 电机速度调节(motor speed regulation)，等等。而在控制理论发展的历史中，蒸汽机的阀门调节问题就属于一个典型的output regulation问题，直到20世纪70年代，这个问题才在state-space的框架下形成。[1,preface]

这里需要指出[1][2]中强调的关于output regulation problem与trajectory tracking problem的区别。Output regulation问题面对的reference input与disturbances并不要求是提前精确知道的。它们被归结为由一个外部系统(exosystem)独立产生的外部信号(exogenous signals)，exosystem是由一个自治动态方程(autonomous differential equation)决定的。所以output regulation problem涵盖了一大类参考信号渐进跟踪和扰动抑制问题，不再只是像积分控制那样只针对常值信号，从而具有一定的普适性。

Output regulation problem最初的研究是从linear system开始的，在历史上有几个不同的名字，比如：Robust servomechanism problem(Davison) 和 structurally stable output regulation problem(Francis and Wonham). 我们在之后的几篇文章中会看到，output regulation problem的可解性条件(solvability conditions)是非常关键的，只有满足这个条件才能设计出相应的regulator。

我们之后会介绍内模原理(internal model principle, IMP)。IMP告诉我们可以在控制器设计中加入扰动和参考信号的产生模型，使得系统能够抑制和渐进跟踪扰动和参考信号。PID控制器中的积分控制  ，就是一个特殊的抑制常值扰动的例子。

更多关于nonlinear output regulation的问题，我们以后有机会再讨论。可以参考[1]这本书中的内容。

2. 问题基本框架 Basic Framework

在这篇文章中我们考虑解决asymptotic tracking and disturbance rejection，而把robust留到下一篇文章中。应该说，output regulation problem的内涵实际上既要解决前者，也要解决后者，故而我们的最终目的还是robust output regulation。

我们一步步来说，这里我们先考虑输出的渐进跟踪与扰动抑制问题。为下图中的线性系统设计一个controller，目标是使得系统闭环exponentially stable，输出  能够渐进跟踪一个给定的参考输入  ：

并且能够抑制外界扰动  。其中线性系统的exponentially stable就是指其特征值的实部都是negative的。

在这个设定下，我们的目标有两个: asymptotic tracking and disturbance rejection。如果参考信号  ，那么问题可以被称为 asymptotic regulation problem。写出这个系统的方程：

其中  。那么扰动  会通过两个通道影响动态  和传感器输出  ，传递矩阵已经给处。显然我们可以定义追踪误差：

解决上述问题的一般形式控制器是由一组动态方程决定的，实际上是一种dynamic output feedback：

实际中的参考信号或者扰动可能并不是被精确已知的，即我们清楚的知道其过去，现在以及将来。比如正弦信号的幅值，相位，频率都可能存在变化，常值信号和阶跃信号的幅值都会有所不同。我们希望上述控制器能够handle这些潜在的变化，即能够把某一类reference inputs和disturbances都考虑进去。于是我们考虑ref和disturbances由下面的线性自治微分方程(linear autonomous differential equations)确定，初值任意选取：

(5)可以描述一大类函数，比如step function，ramp function，sinusoidal functions等等。令 ，我们把(5)改写成：

其中  。根据(6)把(2)(3)改写成：

其中是矩阵  定义为：

我们得到了(8)之后，原系统(2)的渐进跟踪和扰动抑制问题，就变了(8)的输出调节问题，如果我们把  当作(8)的输出的话。这就是为什么称之为output regulation problem的原因。我们称(6)为exosystem，它产生的exogenous signals就是  和  。

3. 静态反馈 Static Feedback

3.1 反馈控制律设计

把exosystem和(8)结合到一起，我们构成了一个复合系统(composite system)：

前两个方程是状态动态方程，而最后一个则是输出。这里我们用  提醒我们这是error，当然你也可以用其他字母。现在我们的设计控制器的目标系统就是(8)了。

我们考虑用static feedback control law来使得(8)闭环稳定，并且输出  渐进稳定到0：

其中  注意当  不再是单输入时，增益  将都会是多行矩阵，而不是一个行向量。将(11)代入(10)得到闭环系统为：

我们简化符号，写成：

产生ref signal和disturbance的exosystem是  。

我们的目标是闭环系统(12)能够稳定，并且：

。这里我们做出两个假设：  stabilizable，以及  的特征值实部都在右半复平面。其中  的特征值实部假设只是为了满足一般情况，实际上没有特别要求。exosystem自己是不是稳定的不要求，我们只关心闭环系统(12)最终是否稳定。

下面这个定理告诉了我们(13)成立的充分条件：

存在唯一的解  满足下列方程： 

(14)的第一个方程是Sylvestor equation，其存在唯一解，如果  没有相同的特征值。根据假设，我们希望闭环系统稳定，而exosystem是不稳定的，所以唯一解自然是能够保证。但是如果exosystem是稳定的，我们要保证它们没有相同的特征值才能满足唯一性。

证明：我们利用(14)得到  。令  ，得到

如果(14)成立，根据(14)的第二个方程，  是Hurwitz的，则显然能得到 ，从而从(15)的第二个方程中满足  。那么(13)成立，output regulation problem得解。如果exosystem是不稳定的，  会发散，那么反过来，(15)中  成立，意味着  。所以(14)此时也成为了必要条件。但这里我就只讲其为充分条件了。

可以看出来，闭环系统(12)的稳定与否是与feedback增益  有关的，而最终误差是否渐进为0是与  以及feedforward增益  都有关系的。显然套用定理(14)的公式，只要选择合适的  使得闭环系统稳定，并且选择  使得：

有唯一解  ，那么output regulation problem就得到了解决。方程(16)描述了可解性条件(solvability condition)。

3.2 计算feedback gain与feedforward gain

问题就变得简单了，只要找一个  稳定系统，保证  有唯一解。通过(16)解出  就可以了。不过这样子做并不是十分方便，因为每次改动  都会要重新求解(16)。我们通过一点简单的线性变换，把(16)中的  变成  ：

这样把(16)转换为：

(18) 被称为regulator equations，它完全由  这6个矩阵决定。所以我们就不需要每次都解一遍(16)，而只要根据(17)获得最终的  和  即可。注意到  。

所以我们得到一个结论：选择了  使得闭环系统(12)稳定，那么原系统(10)的linear output regulation problem可以由静态反馈控制律：

根据(17)(18)确定其中的：

根据(15)，或者把(16)代入到(12)中，我们就能得到，闭环系统稳定时稳态：

此时的控制输入根据(11)得到：

因此闭环系统的稳态轨迹完全由  和regulator equation的解  确定。

3.3 regulator equation的可解判定条件

一个比较简单的可解判据是[1,Theorem1.9]：

对于(18)中任意矩阵E,F,(18)有唯一解的充分必要条件是，  的任一特征值  都满足：

也就是说，  与  不能有共同的特征值。该矩阵必须保证满秩，证明见[1,p9-10]。由于所有让：

的  都是原系统的transmission zeros（我们之前讲过零点的计算公式），所以这个判据就可以归纳为：plant的transmission zeros与exosystem的特征值不能相同，称之为transmission zeros condition。

显然如果系统是minimum phase system，最小相位系统的开环零点都在LHP，那么在假设exosystem的特征值实部均在RHP时，是一定能够判定(18)有解，即Linear output regulation是可解的(solvable)。

在上面的分析中，我们假设系统的状态  与exosystem的信号  都是可以用于feedback control law设计的。这往往个“奢侈”的要求，我们在下一篇里讲使用dynamic output feedback control law来解决linear output regulation problem。

同时我们也应该注意到，上述regulator equation完全受制于  ，如果它们的参数发生变化，解的结果也将发生变化。此时的static feedback还能不能使得输出误差渐进为0，下面的文章会解答。

参考文献 Reference

[1] Huang, J. (2004).Nonlinear output regulation: theory and applications .Siam.

[2] Byrnes, C. I., & Isidori, A. (2000). Output regulation for nonlinear systems: an overview.International Journal of Robust and Nonlinear Control: IFAC‐Affiliated Journal,10(5), 323-337.