台大机器人学——林沛群

机械手臂 逆向运动学——Manipulator Inverse Kinematics

1.引言: 手臂顺向运动学 Forward Kinematics (FK)

给予  (可计算出  )，求得  或  。

2. 手臂逆向运动学 Inverse Kinematics(IK)

给予 或 ，求得。已知末端位置，反算手臂各个关节的角度。

3. 逆向运动学的求解

• 假设手臂有6Dofs；
• 6个未知的Joint Angles (  或者  ，i=1,...,6)

• 在  中，取出含未知数的  ，16个数字：

其中旋转矩阵中，9个数字，有6个条件：

• 两两垂直；
• 单位向量；

所以在求解过程中：

• 12个 Nonlinear Transcendental Equations（非线性超越方程组）方程式；
• 6个未知数，6个限制条件；

4.几个求解概念

• Reachable Workspace 可达工作空间
• 手臂可以用一种以上姿态到达的位置；
• Dexterous Workspace 灵活工作空间
• 手臂可以用任何的姿态到达的位置；
• 是RW的子集合；

EX: 2Dof 机械手臂 , 其中  ；

蓝色空间内任何一点，只有两个姿态可以到达，这种情况下不存在Dexterous Workspace；

EX:2Dof 机械手臂，其中  ；

• Subspace ——手臂在定义头尾的T所能到达的变动范围

EX：A RP Manipulator —— 2Dof，Variables:(x,y)

求  （frame{2}相对于世界坐标）

可以发现，该手臂，如果位置(x,y)决定了，其方向只与x,y有关，所以方向有唯一解。所以其他不满足该形式的位置，手臂均无法到达，会存在求解冲突。

5.多重解

• 解读数目：由于式非线性超越方程组，6未知数、6方程式不代表具有唯一解；
• 是由Joint数目和Link的参数所决定；

• 用一个实例来看会比较清楚；
• EX: PUMA ( 6 Rotational Joints)

• 针对特定工作点，有8组解，下面进行详细分析（4x2=8组）
• 前三轴，有4种姿态：
• 可以发现，前三轴基本可以决定“腕”的空间位置。

• 每一个姿态中，具有2组手腕转动姿态：
• 
• 
• 
• P.S. 若手臂本身有几何限制，并非每一种解都可以运作。
• 一般6DOFs手臂的形式如下（帮助理解）

可以发现，当第五个摆角为0°时，第四个和第六个同轴。

• 前三轴决定到达位置；（双解特性）

• 特定位置只有单一解：

• 后三轴也具有多解性：

PUMA机械臂有8组的原因，是手臂的第二杆件存在侧移，侧移之后在左右两侧多了两个选择，所以一共是2x4=8组解。

5.1 多重解的选择方式

• 选择方式一：选择下一个瞬间离目前状态最近的解：
• 速度最快
• 最节能
• ...

• 选择方式二：避障原则

5.2 求解方法

1. 解析法 Closed-form solutions

• 用代数Algebraic或几何Geometric方法

2. 数值法 Numerical solutions 六个方程，六个未知数

目前大多数机械手臂，设计成具有解析解:

• Pieper's solution: 相邻三轴相交一点（后三轴）