0. 手臂轨迹规划（Manipulator Trajectory Planning）引言

(1) 轨迹：

机械手臂（的末端点或者操作点）的位置、速度、加速度对时间的历程；

可进一步定义成{T}相对{G}的状态历程（和手臂种类无关，{G}也可随时间变动，比如传送带）。

（2）理想轨迹:

理想轨迹，必须是Smooth Path(i.e.,continuous with continuous first derivative)。 Smooth Path不仅要求位置上连续，而且要求速度上也必须连续，若速度上不连续，速度曲线会有很多转折点，在转折点上，其加速度有可能突破限制（力学限制），连续速度曲线加速度变化不大，若速度变化不连续，在那一瞬间，执行器需要提供巨大扭力符合加速度要求，不符合真实的情况。

• via point，在轨迹规划过程中，往往还需要到达特定的中间位置，该位置叫做via point；
• initial point , 初始位置、姿态；
• final point，目标位置、姿态；

轨迹规划，常常在两个不同空间下进行处理，第一个是Joint Space，即将规划细化到每一个Joint上进行；另外一个是Cartesian Space上的轨迹规划，即当前知道手臂位置，直接在手臂末端点空间姿态上进行规划。

2. Joint Space下的轨迹规划

（1）步骤

• 定义{T} 相对于{G}的initial point, via, final point,  (包含移动和转动自由度）。
• i = 1: initial
• i = 2~N-1: via points
• i = N+1: final
• 注意，规划只有6个自由度，但是Trans Matrics有16个参数，故将其以6个参数方式来表达：

旋转矩阵里，9个数字有3个自由度，即6个限制条件，若各自规划9个数字，没有加以限制，有可能形成的矩阵很大几率不符合Rotation Matrix的形式，无法满足6个限制条件。所以我们直接以3个自由度形式进行规划。

• 做Inverse Kinematics: 将手臂末端点状态转换到joint状态： 
• 对所有joints规划smooth trajectories
• 做Forward Kinematics：将joint状态转换到手臂末端点状态，检查末端点在Cartesian Space下轨迹的可行性。

(2)示例

• joint space 
• Cartesian space 

经历了上述步骤，最后一步，进行Trajectory Checking... ，看看手臂在运动时，有没有碰倒障碍物，或者有没有满足其他的一些条件... ...

3. Cartesian-Space下的轨迹规划

（1）步骤

• 定义{T} 相对于{G}的initial point, via, final point,  (包含移动和转动自由度）。
• i = 1: initial
• i = 2~N-1: via points
• i = N+1: final
• 注意，规划只有6个自由度，但是Trans Matrics有16个参数，故将其以6个参数方式来表达：

• 在上述需求下，直接对所有手臂末端点规划smooth trajectories。
• 做Inverse Kinematics: 将规划好手臂末端点状态的轨迹点转换到joint状态： 
• 检查joint状态在Joint-Space下轨迹的可行性（有没有达到执行器的极限位置...blabla）
• COMMENTS
• Cartersian 方法用的比较多，因为其可以规划更具物理直观意义的轨迹。
• 缺点: 较高的运算负载(IK)，规划完了做IK。
• 比如已知init point，2个via points，1个final point，Joint Space的方法，只须做4次IK。
• 若4s空间，先在Cartesian下做规划，在做IK，运算量就大很多，比如规划出1000个路径，做IK，就需要算4000次。
• 对Real Time下，电脑的计算能力考验比较大。

(2) 示例

经历了上述步骤，最后一步，进行Trajectory Checking... ，检测各个Joint运动有没有超出限制... ...