上一节

前提

线性控制 Linear Control

在弹簧质量系统(二阶线性系统，机器手臂的每一个关节都可以看作一个弹簧和一个阻尼器)中

即 

可以看作  表示推力，  表示弹簧使物体返回原位置的力，  表示阻力。那么如果给出一个震荡系统，如何能使之变成临界阻尼系统呢? --施加额外的力。

即 

假如使用PD控制

其中  和  是系统变量，而  和  是控制变量。 称为确定阻尼 (determines damping)  称为闭环刚度 (closed-loop stiffness) 

控制律的分解 Control Law Partitioning

旨在把控制律分解为 一个包含单位质量系统的部分(可以通过设置变量达到临界阻尼) 和 除了单位质量系统之外的所有和机器人物理相关的部分。

定义

我们把  当作新的系统输入，  和  当作常数或函数。通过选择 和  将系统简化为单位质量系统。

令：  ，  有：

就变成了一个单位质量系统的运动方程，即  ， 

 和  称为基于模型的控制部分(model-based portion)，  称为伺服控制部分(servo portion).

设计一个控制律  (此处采用PD-Controller)

即：  临界条件为：

该条件不取决于物理系统。

如果不简化为单位质量系统，有：

闭环摩擦 (closed-loop friction)  ，闭环刚度 (closed-loop stiffness) 

轨迹跟踪控制 Trajectory-Following Control

轨迹跟踪: 轨迹发生器在任一时间  都能给出一组  (假设轨迹是光滑的)

定义伺服误差为期望轨迹与实际轨迹之差：

伺服控制律  为什么要这么用呢? 因为当这个伺服控制律与单位质量系统运动方程联立时：  可以得到：

临界条件将非常简单：  ，上式也被称为误差空间方程，它描述了相对于期望轨迹的误差估计。如果模型是正确的，并且没有噪声和初始误差，物体将准确跟随期望轨迹运动，如果存在初始误差，这个误差将受到抑制，然后这个系统将准确跟随期望轨迹运动。

抗干扰 Disturbance Rejection

当存在外部干扰或噪声的时候，我们的系统仍然要保持良好的性能。外部干扰即额外的力  ，通过对闭环系统进行分析可得出误差方程：

如果  是有边界的，即存在常数  使  满足

那么解  也是有边界的，而对有边界的干扰可以保证稳定性。

稳态误差 Steady-state error

指干扰为常数，即  ，误差方程简化为：

可以看出  越大，稳态误差就越小，出现干扰时，误差永远不会为0，因为 

附加积分项

目的：消除稳态误差。

在控制律中加入积分项，即使用PID控制 

伺服控制律  联立单位质量系统有： 

加上稳态误差有：(t < 0, e(t) = 0, t>0 时，有：)

解得  。通常  很小，使得三阶系统近似为二阶系统。

Linearization using Partitioning

那么分解后的线性系统参数为

设计的控制律为

Linearization of real Robot

即： 

其中：

without robot dynamics： 

总结

• 带有弹簧（和阻尼器）的单个质量。
• 运动特征方程
• 设计控制器以实现线性系统所需的性能。
• 分解非线性系统使其线性化。
• “矢量化”，以统一的方式控制具有多个自由度的机械手。