机器人学-4-4-稳定性分析-李雅普诺夫稳定性

heng2617

分类：机器人学

发布时间 2021.12.19阅读数 4737 评论数 0

Energy-Based Stability Analysis

对一个有摩擦质量系统：

其运动方程为： $m \ddot{x}+b \dot{x}+kx = 0$

系统能量为： $E = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + \frac{1}{2} k x^2$

有：

$\begin{align} \dot{E} &= m \ddot{x} \dot{x} + \ k x \dot{x}\\ &= (-b \dot{x}-kx) \dot{x}-kx \dot{x}\\ &= -b \dot{x}^2\\ &<0 \end{align}\\$

说明系统的能量会降低，直到达到 $x=0$ 为止。(系统受到初始干扰，将不断耗散能量直至静止状态。对运动方程进行稳态分析(加速度和速度都为0)，可知静止状态为 $x=0$ )

这种方法被称为李雅普诺夫稳定性分析或第二类李雅普诺夫方法(直接法)。

稳定性分析 Stability Analysis

线性系统要求 $k_v >0$
假定干扰有界，可以保证系统稳定性
非线性系统的稳定性分析更复杂
不是都可以进行线性化的

错误的模型
未知的模型

李雅普诺夫稳定性理论 Lyapunov Stability Theory

基于能量的例子(本节一开始的对质量摩擦系统的能量分析)就是一个李雅普诺夫方法的实例。
可用于线性和非线性系统
是稳定性的分析而不是系统性能的分析(不能给出系统是过阻尼还是欠阻尼的信息，也不能给出系统抑制干扰所需要的时间)。虽然系统是稳定的，但它的控制性能可能并不让人满意。

第二类李雅普诺夫方法 Lyapunov's second Method

也被称为直接法
确定微分方程 $\dot{x} = f(x)$ 的稳定性
需要能量方程 $E(x)$

具有连续的一阶偏导数
$\forall x: E(x) >0$ 除了 $E(0) = 0$
使得 $\dot{E}(x) \leq 0$

系统的能量总是会降低。

第一类李雅普诺夫方法 Lyapunov's First Method

又叫非直接法
对非线性系统线性化
局部线性化的稳定性决定了原始非线性方程的稳定性
这里不再讨论

真实机器人的动力学方程

$M(q) \ddot{q} + v(q, \dot{q})+G(q) = \tau \\$

$M(q)$ 是 $n \times n$ 质量矩阵， $v(q, \dot{q})$ 是 $n \times 1$ 离心力和哥氏力矢量(或科氏力)， $G(q)$ 是 $n \times 1$ 重力矢量， $\tau$ 是驱动器应该提供的扭矩。

思考质量矩阵中的每一项代表的意义。

科氏力 Coriolis Force

地球以一定的角速度自转，( $2\pi$ in 24 hours)

$|\Omega| = \frac{v}{r} = 7.27*10^{-5} rad/s = 0.00417 deg/s\\$

线速度因半径不同而不同，例如一个人面朝北方站在赤道上，向被扔出一个球，这个球有两个速度，一个是扔出的速度，一个是地球自转的线速度。但在运动的过程中，线速度在减小，于是轨迹就不再是期望的直线运动。

在机器人控制中不同关节的转速不同，也会出现这个现象。更多了解机器人动力学：

机器人动力学概述zymin.cn/arcticle/robot-dynamics.html

干货 | 机械臂的动力学（一）：牛顿欧拉法mp.weixin.qq.com/s/dkOxmuTzOasvOZoMTH2nQg

计算扭矩的稳定性 Stability of computed Torque

$M(q) \ddot{q} + v(q, \dot{q})+G(q) = \tau \\ \tau = K_p e - K_v \dot{q} + G(q) \\$

有：

$M(q) \ddot{q} + v(q, \dot{q})+G(q) = K_p e - K_v \dot{q} + G(q)\\ M(q) \ddot{q} + v(q, \dot{q}) + K_v \dot{q} + K_pq= K_p q_d \\$

能量方程： $E = \frac{1}{2} \dot{q}^T M(q) \dot{q} +\frac{1}{2} e^TK_pe$ ，其中 $M$ ， $K_p$ 为正。

能量方程的导数：

$\begin{align} \dot{E} &= \frac{1}{2} \dot{q}^T \dot{M}(q) \dot{q} + \dot{q}^TM(q) \ddot{q} - e^TK_p \dot{q}\\ &=\frac{1}{2} \dot{q}^T \dot{M}(q) \dot{q}-\dot{q}^T K_v \dot{q}-\dot{q}^Tv(q,\dot{q})\\ &=-\dot{q}^TK_v \dot{q}\\ \end{align}\\$

$K_v$ 始终是正的，所以 $\dot{E}$ 始终是非正的。

动力学李雅普诺夫稳定性

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Energy-Based Stability Analysis

稳定性分析 Stability Analysis

李雅普诺夫稳定性理论 Lyapunov Stability Theory

第二类李雅普诺夫方法 Lyapunov's second Method

第一类李雅普诺夫方法 Lyapunov's First Method

真实机器人的动力学方程

科氏力 Coriolis Force

计算扭矩的稳定性 Stability of computed Torque

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