上一节：

Energy-Based Stability Analysis

对一个有摩擦质量系统：

其运动方程为： 

系统能量为： 

有：

说明系统的能量会降低，直到达到  为止。(系统受到初始干扰，将不断耗散能量直至静止状态。对运动方程进行稳态分析(加速度和速度都为0)，可知静止状态为  )

这种方法被称为李雅普诺夫稳定性分析或第二类李雅普诺夫方法(直接法)。

稳定性分析 Stability Analysis

• 线性系统要求 
• 假定干扰有界，可以保证系统稳定性
• 非线性系统的稳定性分析更复杂
• 不是都可以进行线性化的
• 错误的模型
• 未知的模型

李雅普诺夫稳定性理论 Lyapunov Stability Theory

• 基于能量的例子(本节一开始的对质量摩擦系统的能量分析)就是一个李雅普诺夫方法的实例。
• 可用于线性和非线性系统
• 是稳定性的分析而不是系统性能的分析(不能给出系统是过阻尼还是欠阻尼的信息，也不能给出系统抑制干扰所需要的时间)。虽然系统是稳定的，但它的控制性能可能并不让人满意。

第二类李雅普诺夫方法 Lyapunov's second Method

• 也被称为直接法
• 确定微分方程  的稳定性
• 需要能量方程 
• 具有连续的一阶偏导数
•  除了 
• 使得 
• 系统的能量总是会降低。

第一类李雅普诺夫方法 Lyapunov's First Method

• 又叫非直接法
• 对非线性系统线性化
• 局部线性化的稳定性决定了原始非线性方程的稳定性
• 这里不再讨论

真实机器人的动力学方程

 是  质量矩阵，  是  离心力和哥氏力矢量(或科氏力)，  是  重力矢量，  是驱动器应该提供的扭矩。

思考质量矩阵中的每一项代表的意义。

科氏力 Coriolis Force

地球以一定的角速度自转，(  in 24 hours)

线速度因半径不同而不同，例如一个人面朝北方站在赤道上，向被扔出一个球，这个球有两个速度，一个是扔出的速度，一个是地球自转的线速度。但在运动的过程中，线速度在减小，于是轨迹就不再是期望的直线运动。

在机器人控制中不同关节的转速不同，也会出现这个现象。更多了解机器人动力学：

干货 | 机械臂的动力学（一）：牛顿欧拉法​mp.weixin.qq.com/s/dkOxmuTzOasvOZoMTH2nQg

计算扭矩的稳定性 Stability of computed Torque

有：

能量方程：  ，其中  ，  为正。

能量方程的导数：

 始终是正的，所以  始终是非正的。