现代控制理论线性系统入门(二)状态变量的解和渐近稳定性

第一篇传送门：

上一篇我们引入了时域的状态方程的描述方法，当引入状态变量以后，系统的特性就由多个耦合的状态变量的微分方程来描述，选择一些状态变量输出，就得到了可测的输出量。所以这些微分方程的解至关重要，接下来探讨一下状态变量的解的性质行为。

2.1 线性系统解的行为

先考虑最简单的线性自治系统

(2.1) $\mathbf{\dot x}=\mathbf{Ax},~~\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$

它的解可以借助一个所谓的(n x n)转移矩阵 $\mathbf{\Phi}(t)$ 来表示

(2.2) $\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Phi}(t)\mathbf{x}_0$

所以如果状态转移矩阵已知，那我们就可以给出任意一个初始条件 $\mathbf{x}_0$ 得到任意时点的状态变量的解。那么怎么获得这个转移矩阵呢？我们可以使用Picard迭代逼近解，即所谓的不动点迭代，专门用来解常微分方程初值问题(Anfangswertproblem)。形如

(2.3) $\mathbf{\dot x}=\mathbf{f}(\mathbf{x}),~~\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0\rightarrow ~\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}_0+\int_{0}^{t}\mathbf{f}(\mathbf{x}(\tau))d\tau$

迭代递推式如下

(2.4) $\begin{align} &\mathbf{x}^0(t)=\mathbf{x}_0\\ &\mathbf{x}^k(t)=\mathbf{x}_0+\int_{0}^{t}\mathbf{f}^{k-1}(\mathbf{x}(\tau))d\tau,~~k=1,2,... \end{align}$

那么经由Picard迭代的线性自治系统的微分方程组的解

(2.5) $\begin{align} \mathbf{x}^0(t)&=\mathbf{x}_0\\ \mathbf{x}^1(t)&=\mathbf{x}_0+\int_{0}^{t}\mathbf{Ax}_0d\tau=(\mathbf{I+A}t)\mathbf{x}_0\\ \mathbf{x}^2(t)&=\mathbf{x}_0+\int_{0}^{t}\mathbf{A}(\mathbf{I+A}\tau)\mathbf{x}_0 d\tau=(\mathbf{I+A}t+\mathbf{A}^2\frac{t^2}{2})\mathbf{x}_0\\ &\vdots\\ \mathbf{x}^k(t)&=(\mathbf{I+A}t+\mathbf{A}^2\frac{t^2}{2}+...+\mathbf{A}^k\frac{t^k}{k!})\mathbf{x}_0 \end{align}$

当 $k\rightarrow\infty$ 时， $\mathbf{x}^k(t)$ 就会等效收敛到 $\mathbf{x}(t)$ ，所以转移矩阵 $\mathbf{\Phi}(t)$ 就可以记作

(2.6) $\mathbf{\Phi}(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbf{A}^k\frac{t^k}{k!}=e^{\mathbf{A}t}$

显然在一维的时候指数函数可以麦克劳林展开得到类似形式，所以把这个形式记作矩阵的指数形式。更多时候都会用这种指数形式 $e^{\mathbf{A}t}$ 来代替转移矩阵 $\mathbf{\Phi}(t)$ 的写法。同时这样的转移矩阵保有了类似指数函数的基本性质：

①初值： $\mathbf{\Phi}(0)=\mathbf{I}$
②乘积： $\mathbf{\Phi}(a+b)=\mathbf{\Phi}(a)\mathbf{\Phi}(b)$
③可逆： $\mathbf{\Phi}^{-1}(t)=\mathbf{\Phi}(-t)$
④可微： $\frac{d}{dt}\mathbf{\Phi}(t)=\mathbf{A}\mathbf{\Phi}(t)$

显然，总是用级数展开的形式计算转移矩阵，太过繁琐，那么有没有简便的方法呢？答案是之前在经典控制里面使用的拉普拉斯变换！对(2.1)应用拉普拉斯变换 $\mathbf{X}(s)=\mathcal{L}\left\{\mathbf{x}(t) \right\}$

(2.7) $s\mathbf{X}(s)-\mathbf{x}_0=\mathbf{AX}(s)\\ \mathbf{X}(s)=\left( s\mathbf{I-A} \right)^{-1}\mathbf{x}_0$

所以 $\mathbf{X}(s)=\mathbf{\hat \Phi}(s)\mathbf{x}_0$ 就有s域的转移矩阵 $\mathbf{\hat \Phi}(s)=\mathcal{L}\left\{\mathbf{\Phi}(t) \right\}$

(2.8) $\mathbf{\hat \Phi}(s)=\left( s\mathbf{I-A} \right)^{-1}\\$

举个例子

(2.9) $\mathbf{\dot x}=\begin{bmatrix} 1&1\\ -9&1 \end{bmatrix}\mathbf{x}$ ，即 $\mathbf{A} =\begin{bmatrix} 1&1\\ -9&1 \end{bmatrix}$

(2.10) $\mathbf{\hat \Phi}(s)=\left( s\mathbf{I-A} \right)^{-1}=\begin{bmatrix} s-1&-1\\ 9&s-1 \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{s-1}{(s-1)^2+9}&\frac{1}{(s-1)^2+9}\\ \frac{-9}{(s-1)^2+9}&\frac{s-1}{(s-1)^2+9} \end{bmatrix}$

查表，不难求得原来的转移矩阵

(2.11) $\mathbf{\Phi}(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{ \mathbf{\hat \Phi}(s)\right\} =\begin{bmatrix} e^tcos(3t)&\frac{1}{3}e^tsin(3t)\\ -3e^tsin(3t)&e^tcos(3t) \end{bmatrix}$

然而对于 $n>3$ 以上的式子想要用拉普拉斯变换这样确定转移函数的复杂度已经达到了必须用计算机求解的程度。

知道了转移矩阵，下一步就可以求非齐次的普通的线性时不变系统的解了

(2.12) $\mathbf{\dot x}=\mathbf{Ax+Bu},~~\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$

代入 $\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Phi}(t)\mathbf{x}_0(t)$ ，同时根据性质③④

(2.13) $\begin{align} \mathbf{\dot\Phi}(t)\mathbf{x}_0(t)+\mathbf{\Phi}(t)\mathbf{\dot x}_0(t)&=\mathbf{A}\mathbf{\Phi}(t)\mathbf{x}_0(t)+\mathbf{Bu}(t)\\ \cancel{\mathbf{A}\mathbf{\Phi}(t)\mathbf{x}_0(t)}+\mathbf{\Phi}(t)\mathbf{\dot x}_0(t)&=\cancel{\mathbf{A}\mathbf{\Phi}(t)\mathbf{x}_0(t)}+\mathbf{Bu}(t)\\ \mathbf{\dot x}_0(t)&=\mathbf{\Phi}(-t)\mathbf{Bu}(t) \end{align}$

用关于 $\mathbf{x}_0(t)$ 的Picard迭代

(2.14) $\mathbf{x}_0(t)=\mathbf{x}_0(0)+\int_{0}^{t}\mathbf{\Phi}(-\tau)\mathbf{Bu}(\tau)d\tau$

再根据性质②可得任意时刻的状态变量为

(2.15) $\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Phi}(t)\mathbf{x}_0(t)=\mathbf{\Phi}(t)\mathbf{x}_0(0)+\int_{0}^{t}\mathbf{\Phi}(t-\tau)\mathbf{Bu}(\tau)d\tau$

所以这时候完整的线性时不变系统的表达为

(2.16) $\mathbf{x}(t)=\underbrace{\mathbf{\Phi}(t)\mathbf{x}_0(0)}_{齐次解}+\underbrace{\int_{0}^{t}\mathbf{\Phi}(t-\tau)\mathbf{Bu}(\tau)d\tau}_{特解}$

(2.17) $\mathbf{y}(t)=\underbrace{\mathbf{C\Phi}(t)\mathbf{x}_0(0)}_{自治的运动}+\underbrace{\int_{0}^{t}\mathbf{C\Phi}(t-\tau)\mathbf{Bu}(\tau)d\tau}_{受控的运动}+\underbrace{\mathbf{Du}(t)}_{直接控制}$

可见，线性时不变系统最后输出的轨迹是自治系统轨迹、输入控制轨迹以及直接控制(Durchgriff) 三部分的线性叠加，线性时变系统的输出解轨迹也可以同样类比，不过本篇不加深入。

2.2 脉冲响应和阶跃响应

对于检测系统性能来说，脉冲响应和阶跃响应既是最方便又是最重要的。让我们回忆一下狄拉克脉冲函数，狄拉克Δ函数

(2.18) $\delta(t)=\begin{cases} \lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{1}{\varepsilon},&0\leq t\leq\varepsilon\\0,& 其他 \end{cases}$

有基本性质 $\sigma(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)d\tau$ ， $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau)d\tau=1$ 以及卷积运算的性质 $\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(a-\tau)d\tau=f(a)$ ，其中单位阶跃函数 $\sigma(t)=\begin{cases} 0,& t<0\\1,& t\geq0 \end{cases}$ 。

当初值 $\mathbf{x}_0=\mathbf{0}$ 并且没有直接控制部分( $\mathbf{D=0}$ )，我们在脉冲函数的输入下 $\mathbf{u}(t)=\left[ \delta(t),\delta(t)...\delta(t) \right]^T$ ,定义权重函数(Gewichtsfunktionen) $\mathbf{g}(t)=\mathbf{C\Phi}(t)\mathbf{B}$ ,则有输出响应

(2.19) $\mathbf{y}(t)=\int_{0}^{t}\underbrace{\mathbf{g}(t-\tau)}_{\mathbf{C\Phi}(t-\tau)\mathbf{B}}\mathbf{u}(\tau)d\tau$

可见，系统输出的行为正好是一个权重函数和输入信号的卷积运算。这也符合我们对s域的认知，因为在s域里，输出信号等于输入信号乘以传递函数 $Y(s)=G(s)U(s)$ ，对应的时域关系恰为卷积。

当输入为单位阶跃函数 $\mathbf{u}(t)=\left[ \sigma(t),\sigma(t)...\sigma(t) \right]^T$ 时，且 $det(\mathbf{A})\ne0$ 会有

(2.20) $\mathbf{y}(t)=\mathbf{h}(t)=\mathbf{CA}^{-1}(\mathbf{\Phi}(t)-\mathbf{I})\mathbf{B}$

2.3 一般形式变换为对角型

实际上对于一个动态系统的状态变量的选择是不唯一的，不同的选择会导致不同的状态方程组，但是它们经过还原，仍然能得到同一个系统的微分方程的形式。一般形式下的系数矩阵 $\mathbf{A}$ 常常未解除耦合，这意味着每一行的状态变量都由其他状态变量一起表示，这样不能够直观看出特征值。那么什么情况下，能够在一个特定的坐标下的状态方程直接看出特征值呢？

自然是只包含矩阵特征信息的对角形式啦！

我们选取新坐标，新的状态变量， $\mathbf{z}\in \mathbb{R}^{n}$ ，设一个正则变换矩阵 $\mathbf{T}$ ，使得

(2.21) $\mathbf{z=Tx \quad \quad x=T^{-1}z} \quad \quad\mathbf{\tilde A}=\mathbf{TAT}^{-1}=diag(\lambda_i)$

那么会有

(2.22) $\begin{align} \mathbf{\dot z}=\mathbf{T\dot x}&=\underbrace{\mathbf{TAT}^{-1}}_{\mathbf{\tilde A}}\mathbf{z}+\underbrace{\mathbf{TB}}_{\mathbf{\tilde B}}\mathbf{u},~~\mathbf{z}(0)=\mathbf{z}_0=\mathbf{Tx}_0\\ \mathbf{y}&=\underbrace{\mathbf{CT}^{-1}}_{\mathbf{\tilde C}}\mathbf{z}+\underbrace{\mathbf{D}}_{\mathbf{\tilde D}}\mathbf{u} \end{align}$

显然这样的线性变换并不会改变系数矩阵原有的特征值，所以

(2.23) $det(\mathbf{A})=det(\mathbf{\tilde A})=det(\mathbf{TAT}^{-1})\\ det(\lambda\mathbf{I-A})=det(\lambda\mathbf{I-TAT}^{-1})$

根据 $\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Phi}(t)\mathbf{x}_0(t)$ ，不难知道新的转移矩阵为

(2.24) $\mathbf{\tilde\Phi}(t)=\mathbf{T}^{-1}\mathbf{\Phi}(t)\mathbf{T}=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbf{\tilde A}^k\frac{t^k}{k!}=\begin{bmatrix} e^{\lambda_1t}&0&\cdots&0\\ 0&e^{\lambda_2t}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&e^{\lambda_nt} \end{bmatrix}$

2.4 状态变量的渐近稳定性

定义2.1 渐近稳定性
线性系统如果对 $\forall ~\mathbf{x}(0)\ne \mathbf{0}$ 都有 $\lim_{t \rightarrow \infty}{\left| \left| \mathbf{x}(t) \right| \right|}=0$ ，则称系统是渐近稳定的。

直观来看，渐近稳定性表示任意起始位置，在通过有限时间的演化和运动，最终都要趋向于0，这个0对于系统的所有状态变量来说，就是一个平衡点。意味着所有的状态变量都在这里平衡，最终位置在这，最终速度也会变为0，是一个任何扰动都要在此收敛的地方。我们注意到，转移矩阵在决定解 $\mathbf{x}(t)$ 的形式中会扮演重要角色。其他一般情况下的解无非是对角型的线性变换，即线性组合。

对任意 $\mathbf{x}(t)=\left[ x_1(t),...,x_n(t) \right]^T$ ，它的解应为下列成分的线性组合 $t^ke^{\lambda t},\qquad t^ke^{\alpha t}cos(\omega t)=\mu \cdot t^ke^{(\alpha+j\omega )t},\qquad t^ke^{\alpha t}sin(\omega t)=\nu\cdot t^ke^{(\alpha+j\omega )t}$

所以复数特征值 $\lambda=\alpha\pm j\omega$ 和 $0\leq k\leq n-1$ 就决定了解的特性。因为特征值虚部的幅值受限，它只会给系统带来振荡的行为，所以真正决定解是收敛还是发散的原因还在实部，也就是这个 $\alpha$ 。如果 $\alpha>0$ 主导部分都是发散的，所以系统不稳定；如果 $\alpha<0$ ，所有成分都是收敛的，那么系统一定会稳定下来；如果 $\alpha=0$ ，系统会有振荡部分，无法渐近稳定。

定理2.1 渐近稳定性
对平衡点 $\mathbf{x}_R= \mathbf{0}$ 的线性系统，恰为渐近稳定，当且仅当所有来自系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值均有负实部。这等价于 $Re\left( \lambda_i \right)<0，\qquad 1\leq i\leq n$ 。

系统的状态变量会有决定系统稳定的行为，但是我们还可以从另一个视角，系统的输入输出的直接关系，也就是传递函数，来看系统的整体行为，这就是下一章我们要探讨的内容。

善道：线性系统控制入门(三)输入输出变量的稳定性

参考文献：

[1]Regelungstechnik B (Zustandsraummethoden) (WS 2019), Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen

Lehrstuhl für Regelungstechnik, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg

现代控制理论线性系统入门(二)状态变量的解和渐近稳定性

善道

2.1 线性系统解的行为

2.2 脉冲响应和阶跃响应

2.3 一般形式变换为对角型

2.4 状态变量的渐近稳定性

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