上一篇传送门：

渐近稳定是状态变量的特性，如果再度考虑系统的输入输出行为，这个输入输出变量的稳定性可以由单变量输入单变量输出(Single-Input-Single-Output, SISO)时传递函数以及多变量输入输出(Multi-Input-Multi-Output, MIMO)的传递矩阵来描述。

3.1传递函数和传递矩阵

当  时，普通的线性时不变系统退化为SISO系统

(3.1) 

对其进行拉普拉斯变换，有

(3.2) 

所以

(3.3) 

当  时，比较  和上式，可得传递函数 

定理3.1 传递函数
线性时不变的SISO系统的传递函数  有

为传递函数的分子多项式，  是传递函数分母多项式。两者互质，且有微分度  。而逆矩阵  可以表示为伴随矩阵和行列式的分式

(3.4) 

所以传递函数也可以写成以下形式

(3.5) 

 就对应了系统的动态矩阵  的特征多项式，传递函数的极点恰为矩阵  的特征值，但是反过来传递函数的极点不一定为动态矩阵的特征值，这一点在之后说明。分母多项式  最高阶数为  。分子多项式  最高阶数为  ，或当直接控制系数  ， 最高阶数为  。因为在计算时可知，分子部分计算伴随矩阵时会从原矩阵  中取出  行来计算余子式因此最高阶数仅为 。

现在我们继续推广到MIMO的情况。

(3.6) 

易知，上述推导过程类似，所以直接给出当  时，有传递函数矩阵

(3.7) 

那么  传递矩阵为

(3.8)  其中有 

3.2 传递函数到状态变量的可实现性

之前讨论了怎么从状态变量推出传递函数，那么现在能否反过来从传递函数直接推出状态方程表达呢？这就是一个传递函数到状态变量的可实现性的问题，原则上，会有无数种可行的构造，而实践上，应该找到那些最小代价的实现方式，比如最小维度的。状态变量数量尽量少，或者说，问题转化为：想要实现一个传递函数的所需的最少状态变量维数的存在性。

定理3.2 传递函数的可实现性
一个传递函数 是可实现的，当且仅当有正确的微分度，即微分度  。

因为实现方式不唯一，所以在本章里只讨论两种规范的最小实现形式。并考察这样的传递函数

(3.9) 

其中  和  互质且  。

• 第一标准型/能控标准型(1.Standardform bzw. Regelungsnormalform)

为了推导出能控标准型，我们引入辅助状态变量  ，定义

(3.10) 

(3.11) 

显然(3.10)乘以(3.11)便可得到  ，(3.11)对应的微分方程为

(3.12) 

因而选择状态变量 ，可列出所有一阶微分方程

(3.13) 

式(3.10)对应的时域表达为

(3.14) 

最后汇总成矩阵形式，应有

(3.15) 

于是(3.9)代表的传递函数的直接实现方式，即可按照第一标准型或者能控标准型表示。这种表现形式与系统的能控性紧密相关，这会在下一章讨论。

举个例子，  ，求其第一标准型的状态方程。

为了能够直接读出来，先变形为标准形式

(3.16) 

于是可以直接导出

(3.17) 

• 第二标准型/能观标准型(2.Standardform bzw. Beobachtungsnormalform)

为了推导第二种实现方式，我们可以使用传递函数的另一种表达

(3.18) 

因为  此时为关于  的标量有理函数，易知

(3.19) 

所以我们立刻能求出同一传递函数的另一形式

(3.20) 

(3.21) 

于是(3.9)代表的传递函数的另一种实现方式，即可按照第二标准型或者能观标准型表示，第二种表示方法的系统与第一种的系统对偶。这种表现形式与系统的能观性紧密相关，这也会在下一章讨论。

3.3输入输出稳定性

在上一章我们考察了线性时不变系统状态变量的渐近稳定性，实际上还有另一种输入输出的稳定性(Ein-/Ausgangsstabilität)值得探讨，这在英语里又被称为“有界输入有界输出稳定性”(Bounded-Input-Bounded-Output, BIBO)，即BIBO稳定性。

定义3.1 输入输出稳定性
一个线性时不变的单输入单输出系统被称为输入输出稳定，当初始条件  时，对每一个受限的输入信号 ，都有一个受限的输出信号  。这等价于  ; 

显然输入输出稳定性可以借助脉冲响应判断分析，而传递函数  的时域表示，即权重函数  。

(3.22) 

定理3.3 输入输出稳定性-脉冲响应判据
一个线性时不变的单输入单输出系统被称为输入输出稳定，当它的脉冲响应时绝对可积的，即
(3.23) 

因为输入输出稳定性实际上就是通过传递函数表现的，当传递函数的幅值表现为发散时，系统自然无法稳，当传递函数的幅值收敛时，系统自然可以稳定。而通过传递函数的极点来检验输入输出稳定性是另一种更常用的方法。

定理3.4 输入输出稳定性-传递函数判据
一个线性时不变的单输入单输出系统被称为输入输出稳定，当它的传递函数的所有的极点  有且仅有负的实部，这等价于 

因为传递函数的极点恰好也正为对应的动态矩阵  的特征值，所以系统状态变量的渐近稳定性也能推出系统输入输出稳定性。而反过来的话，当且仅当系统的传递函数的阶数正好为系统的阶数，会有系统输入输出稳定性则系统状态变量的渐近稳定性的推论。

3.4 对系统的零点的解释

传递函数的零点虽然不会影响系统的稳定性，但是会对系统运动的速度和幅值产生影响。

• 零点的阻断性

考察传递函数

(3.24) 

当从频域，即  域考察时，输入信号的频率正好为一个传递函数的零点  ，那么自然传递函数的值就为0，系统有输入却没有输出，这即所谓的零点的阻断性(Blockade-Eigenschaft)。

(3.25) 

现在我们继续考察一个确定的实零点  ，其对应的输入信号为  或者  ，那么当常数  时，这样一个输入信号进来系统对应的响应为

(3.26) 

显然这样的动态输入  是不能通过系统传递并输出的。这种零点的阻断性主要会应用在信号技术里，比如说notch filter，为了把一个极窄带宽内的频率给滤掉。

例3.1 倒立摆小车系统

让我们再度考察之前第一章里面出现过的倒立摆小车，我们使用在平衡点线性化后的模型，其状态变量为  ，并且让输出选为  ，那么其完整线性时不变的状态方程为

(3.27) 

其传递函数为

(3.28) 

显然，它有两个共轭零点  则对应的零点频率为输入信号可选为

(3.29) 

这样，这个信号输入就不会有有效输出了。特别情况下，还可以通过合适的初始条件  ，实现输出信号在输入信号为  时，对小车和摆产生一个持续振荡，而摆的最高处仍然平衡，下图展示了半个周期  的运动轨迹。

• 相反的输入输出行为

当零点落在复平面右边时，会有一些行为会对控制造成妨碍，即  。这样的系统被称为非最小相位系统(Nichtminimalphasige Systeme)，比如只有一个零点且为非最小相位零点  ，系统的对应的传递函数为

(3.30) 

其分母用一个Hurwitz多项式表示，代表所有极点/特征根都是渐进稳定的。考虑阶跃响应，并对其使用初值定理

(3.31) 

易知对于  阶导数都应有  , 

(3.32) 

应有阶跃响应的输出信号  ,且初值为

(3.33) 

但是当我们考察这个系统的终值时，它却是负值

(3.34) 

这意味着初值导数为正  ，终态却反转为负值了，也就是说系统响应初期会先经历一次正负号反转，而且照这样推论，如果正的零点越多，系统到终态稳定值之前要经历越多次反转和正负号变动。所以这种多次反向的特征行为是非最小相位系统的基本特性。

例3.2 经历反转的非最小相位系统

考察一个二阶的传递函数，它有零点  和极点  。下面将展示最小相位系统  和非最小相位系统  的阶跃响应。归一化以后易知终值  ，而初始斜率/速度为

(3.35) 

在多输入多输出的MIMO系统里，系统的输入输出行为由传递矩阵描述，但是考察零点的方法会更加复杂，我们还需要考虑这个零点是不是

• 传递零点(Übertragungsnullstellen)
• 不动零点(invariante Nullstellen)
• 输入输出解耦零点(Ein-/Ausgangs-Entkopplungsnullstellen)

本章内容到此为止，下一章要继续探讨能控性和能观性。

下一篇：

[1]Regelungstechnik B (Zustandsraummethoden) (WS 2019), Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen

Lehrstuhl für Regelungstechnik, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg