视角二：频域

频域中的“频”指的是频率（frequency），它帮助我们以另一种视角看待世界中随时间变化的信号。从时域信号入手，过渡到频域，是一种更容易理解的方式。

比如，我们在理想弹簧上放置一个质量为m的物块，初始条件重力与弹簧弹力平衡，物块静止在平衡高度处（下图紫线）。当我们用小锤敲一下重物时，物块开始上下晃动，由于不计损耗，物块会周期性运动下去。此时，物块相对于平衡点的位移与时间是正弦函数关系。这个正弦函数也正是下图中，用牛顿第二定律写出来的偏微分方程的代数解。

正弦函数是一个典型的周期函数，角频率是w，频率f=2×pi×w。唯一确定一个正弦函数需要知道三个变量：幅值，频率和初始相角。默认初始相角为0时，我们就可以用幅值A和频率f构成的坐标系来表示方程的代数解，即点（f, A）。这一步，完成了从时域到频域的跨越——在时域中，这个正弦信号是图中的红色线，而在频域中的则时点（f, A）。这个点就是频域视角下的时域信号，而三角函数sin就是沟通的桥梁。

有人可能会有疑问，时域信号刚好是三角函数时，很好理解，万一不是三角函数时怎么办？

此时，傅利叶级数出场了。

傅里叶从数学上证明了，对于满足狄利克雷定理的周期信号，可以分解成无数个正弦函数叠加。其中频率最小的正弦信号，我们将它称作基波，其它正弦信号的频率刚好是基波的整数倍，我们将它们叫做高次谐波。这样时域信号就能在频域上表示出来了，是无数个离散的点。

可能又有人要问了，那非周期信号怎么办呢？放心一万个心，傅里叶级数依旧适用。

非周期信号其实可以看成是周期T趋近于无穷的周期信号。信号的周期越大，所需要的特定频率的正弦信号就越多；当周期T趋于无穷时，每个频率的正弦信号都要有，于是无数个表示频率的点放在一起就构成了线，在频域坐标系下看，就是一条连续的曲线。

至此，我们完成了所有种类的时域信号到频域的转换，

• 正弦信号 → 一个点
• 非正弦周期信号 → 离散的点
• 非周期信号 → 连续的线

当然，也形成了我们看待世界的又一视角——频域视角。

至于为什么要用频域视角看世界？相对时域它有什么优势？未完待续 ~

注：文中图片来自油管博主Brian Douglas视频。