系列文章（三）、（四）分别介绍了控制理论中人们看世界的两种视角——时域和频域，其中，分析时域问题需要用到卷积，而分析频域问题则需要拉普拉斯变换。

首先讲卷积，知乎上已有多篇文章从数学上对卷积进行了介绍和推导，这里不做赘述，具体可见：

下面从控制的角度解释下为什么需要卷积。控制，要求我们精确知道每个时刻系统的状态是什么，那系统当前的状态是由什么决定的呢？系统初始状态 + 之前所有时刻的输入。通过文章（五）我们知道线性时不变(LTI)系统满足叠加定理，因此，只要我们将之前所有时刻的输入带来的当前时刻响应叠加，再加上系统初始状态，就能得到当前时刻系统的输出了。这一叠加的运算恰好完美对应于卷积的运算定义，因此：

输出 = 输入 * 单位冲击响应，其中 * 是卷积运算符。

那为什么卷积的对象是单位冲击响应呢？因为我们可以把输入信号不断细分，最终形成了无数的个小脉冲。LTI系统线线性时不变，所以可以根据单位冲击响应的特性，来不断计算输入信号中小脉冲的输出，然后像卷春卷一样它们“卷起来”。离得近的信号，卷积距离短；离得远的信号，卷积距离长。

虽然卷积能帮助我们计算出时域下的响应，但是，卷积是一种较为复杂的运算，相比于四则运算，它并不方便使用。因此，频域和拉普拉斯变换出场了。同样，介绍拉普拉斯变换的理论帖也很多，比如：

J Pan：从另一个角度看拉普拉斯变换5927 赞同 · 330 评论文章

所以这里直接上结论：

时域的卷积 = 频域的相乘

因此时域下的卷积公式：

输出 = 输入 * 单位冲击响应，其中 * 表示卷积运算

变成了频域下的乘法公式：

L(输出) = L(输入) · L(单位冲击响应)，其中L表示拉普拉斯运算， · 表示乘法运算

至此，时域下的卷积运算被转换成了拉普拉斯域（也称s域）下的普通乘法运算，这大大减小了分析和控制器设计的难度。这份转换的精妙，会在后面的文章中愈加凸显。

注：文中图片来自油管博主Brian Douglas视频。