国内自控教材大都缺失了一部分内容，即傅利叶变换、拉普拉斯变换、二者之间的联系，以及它们与控制之间的关系。这部分内容一般会穿插在自控外的其它课程中讲解，比如高数、信号分析、电路分析中。所以上课的时候老师们大都默认同学们理解这部分内容，这就导致了教与学之间的脱节。

本篇是对系列文章六“为什么自控中需要卷积和拉普拉斯变换”的补充，也是自控数学篇的第一篇文章，通过回答以下四个问题，帮助大家从控制角度从感性认识傅利叶变换。

1）什么是变换？
2）为什么一个信号即能用时域信号表示，又能用频域信号表示？
3）怎样完成变换？
4）与控制的关系是什么？

首先给一个提纲挈领的结论：傅利叶变换在控制中的作用是，将时间信号转化成频率信号；逆变换的作用是将频率信号转化成时间信号。

下面进入第一个问题，什么是变换（Transform）?

变换是一种将信号在不同域之间映射的方法。对于傅利叶变换来说，一个是时间域，一个是频率域。不管在哪种域，究其根本，它们表示的都是同一个对象。

举个例子。白宫的地理位置，可以用街道名表示：1600 Pennsylvania Ave；也可以用GPS表示：(38.9，-77.0)，不管是什么表达方式，这都表示白宫的具体地址。因此对于傅利叶变换来说，变换前与变换后都是用来表示某信号，只不过形式不同而已。

第二个问题，为什么一个信号即能用时域信号表示，又能用频域信号表示？

能回答这个问题的理论是傅利叶级数（注意，不是傅利叶变换）。这个在文章四“看世界的视角2：频域”中有具体涉及，这里不再赘述。如果想从更理论的层面理解傅利叶级数的推导过程，可以移步这里：

下面进一步分析下，用正弦函数作为基础波形的好处。视频中的解释比较模糊，说“更容易处理”。但更本质的原因，从数学上解释，因为正弦函数具备正交性（划重点，这也是傅利叶变换公式成立的前提），更适合作为基底。其次是表示起来更方便，正弦信号线性通过线性时不变系统后，信号形状不会变化，仍然是正弦，仅有幅值和相位两个量发生变化。所以用幅值相位，再配合频率，就能完美地刻画信号及其变化了。

第三个问题，怎样完成变换（感性理解公式在干啥）？

正变换：由时域量得到频域量。频域的正弦信号本质是时域量的基底（线性代数概念），即任意信号都可以由这些正弦量线性表示。正变换的过程就是求基底前面系数的过程。

将时域信号（所有基）与频率为w0的正弦信号积分，由于三角函数的正交特性，非w0的信号都无法与之配对成功（正交特性使之积分后为0），这样就只有和频率w0相关的量保留了下来。而这，刚好是我们想要的！

逆变换：由频域量得到时域量。逆变换更容易理解，将各个频率的正弦信号相加就得到时域量。sigma求和时如果任意频率的量都有，sigma求和就升级成了积分。

第四个问题，与控制的关系是什么？

原因其实在第二个问题中已经给出：控制中大都使用频域信号来分析系统，它使用起来更方便。正弦信号线性通过线性时不变系统后，信号形状不会变化，仍然是正弦，仅有幅值和相位两个量发生变化。因此，我们会记录下系统对不同频率信号的作用效果（即系统的传递函数，文章（七）有介绍），这样任意给一个输入，我们就能完美预测输出。后续控制器设计，以及系统稳定性分析就都顺理成章了。

注：文中图片来自油管博主Brian Douglas视频。