上一节定性介绍了系统稳定性，本文介绍定量判断的方法。学习过控制理论的人都知道结论：传递函数极点在复平面左半平面系统稳定，在虚轴上临界稳定，在右半平面不稳定。这个结论背后的含义是什么呢？

以下图橙色的传递函数G(s)为例说明。

传递函数已知时，输出X(s)=u(s)*G(s)。设输入是单位冲击响应，这里用冲击响应的原因是：线性时不变系统满足叠加定理，任意输入都可以看成无数冲击响应的叠加，若冲击响应造成的扰动最后归于0时，其它bounded distrubance造成的扰动响应也会归于0，系统稳定。单位冲击响应的拉普拉斯变换为1，这样输出就等于传递函数，对其进行拉普拉斯反变换后得到时域输出。

可以看出，两个极点的根—— -1和-2，出现在时域响应e的指数部分，当实数部分小于0时，随着t的增长，这个数会逐渐趋于0，因此系统稳定。

实际上，极点的实部和虚部，分别对应着时域响应的幅值部分和三角函数部分。对于虚部，根据欧拉公式，  在时域下就是关于t三角函数。对于实部，如果小于0，则幅值会指数衰减，最终稳定；如果等于0，则幅值不变（即震荡）；t大于零则幅值指数增大，发散不稳定。

总结下极点的位置和稳定（响应）的关系如下图：

至此，我们知道通过传递函数的极点可以判断系统稳定性。控制工程师通过设计合理的控制器，改变系统整体的传递函数，达到好的控制效果，但反复求解极点是一件麻烦的事情。因此，聪明的前辈提出了很多方法来辅助判断稳定性，比如劳斯判据，根轨迹，奈奎斯特稳定判据等，这些都是围绕极点展开的方法。

这种思想一直延申到了现代控制领域，现代控制中系统的状态空间方程是：dot x = Ax+Bu，矩阵A的特征值正对应着传递函数的极点，特征根小于0则系统稳定，最后殊途同归。